Решение логарифмических уравнений. Логарифмические уравнения Тест на тему логарифмические уравнения

1 из 22

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1

Научное пособие по алгебре Тема: «Логарифмические и показательные уравнения и неравенства» Выполнила: Мануилова Л.Н.-учитель математики МБОУ СОШ № 76 г. Ижевск Удмуртия

№ слайда 2

Содержание: Глава 1. 1.1. Понятие логарифма 1.2. Свойства логарифма 1.3. Логарифмические уравнения А.Теоретическая часть Б.Примеры 1.4. Логарифмические неравенства А.Теоретическая часть Б.Примеры Глава 2. 2.1. Степень положительного числа 2.2. Показательная функция 2.3. Показательные уравнения А.Теоретическая часть Б.Примеры 2.4. Показательные неравенства А.Теоретическая часть Б.Примеры Глава 3. 3.1. Тест по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» I уровень сложности II уровень сложности III уровень сложности 3.2. Тест по теме «Показательные уравнения и неравенства» I уровень сложности II уровень сложности III уровень сложности

№ слайда 3

1.1 Понятие логарифма у х y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) х y = ax (0 < a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 0) называют число n, такое, что b = an Логарифм положительного числа b по основанию a (a > 0,a ≠ 1) обозначают так: n = loga b Из определения Логарифма очевидно следует, что для a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

№ слайда 4

Логарифмическая функция у у х х 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Функцию y = loga x называют логарифмической функцией. Свойства функции y = loga x, при а > 0: Непрерывна и возрастает на промежутке (0;+∞); Если х→+∞, то у→+∞; если х→0, то у→ -∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х > 1, то у > 0; если 0 < х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х > 1, то у < 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

№ слайда 5

Пусть a, M и N – положительные числа, причём a ≠ 1, и k – действительно число. Тогда справедливы равенства: 1. loga (M·N) = loga M + loga N - Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. 2. loga М = loga M – loga N - Логарифм частного положительных чисел N равен разности логарифмов делимого и делителя. 3. loga Mk = k · loga M - Логарифм степени положительно числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Формула перехода логарифмов от одного logb a logb a основания к другому. Отдельные случаи: 1. log10 b = lg b - Логарифм положительного числа b по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа b. 2. loge b = ln b - Логарифм положительного числа b по основанию e называют натуральным логарифмом числа b 1.2 Свойства логарифмов

№ слайда 6

1. Пусть а – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение loga x = b – называют простейшим логарифмическим уравнением. Например, уравнения a) log3 x = 3 ; (1) б) log⅓ x = -2 ; (2) в) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) являются простейшими логарифмическими уравнениями. По определению логарифма если число х0, удовлетворяет числовому равенству loga x = b, то число x0 есть аb , причем это число x0 = ab единственное. Таким образом, для любого действительного числа b уравнение loga x = b имеет единственный корень x0 = ab . 2. Уравнения, которые после замены неизвестного превращаются в простейшие логарифмические уравнения: а) log5 (4x – 3) = 2 ; (4) б) 2 + 1 = -1 ; (5) lg(3x + 1) + lg0,01 lg(3x + 1) 1.3 Уравнения (Теоретическая часть)

№ слайда 7

1.3 Примеры log3 x = 3 Перепишем уравнение в виде: log3 x = log3 27 Тогда очевидно, что это уравнение имеет единственный корень x0 = 27. Ответ: 27. б) log1/3 x = -2 Это уравнение имеет единственный корень x0 = (⅓)-2 =9 Ответ: 9. в) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Приводя все логарифмы к одному основанию, перепишем уравнение в виде: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4·log5 3 log25 2 Так как каждое слагаемое суммы, заключенное в скобки, положительно, то сумма не равна нулю. Поэтому уравнение (1), и значит уравнение (2), равносильны уравнению log25 x = 0 , имеющему единственный корень x0 = 1. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень x0 = 1. Ответ:1. а, б – простейшие уравнения; в – уравнение, которое после преобразований превращается в простейшее лог. уравнение

№ слайда 8

1.3 Примеры а) log5 (4x – 3) = 2 (1) Введя новое известное t = 4x – 3, перепишем уравнение в виде: log5 t = 2. Это уравнение имеет единственный корень t1 = 52 =25. Чтобы найти корень уравнения (1), надо решить уравнение: 4х – 3 = 25. (2) Оно имеет единственный корень x1 =7. Следовательно, уравнение (1) тоже имеет единственный корень х1=7. Ответ: 7. б) 2 + 1 = -1 (1) lg(3x + 1) + lg0,01 lg(3x + 1) Введя новое неизвестное t = lg (3x + 1) и учитывая что lg 0,01 = -2, перепишем уравнение (1) в виде: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Решив рациональное уравнение (2), получим, что оно имеет два корня t1 = -2 и t2 = 1. Чтобы найти все корни уравнения (1), надо объединить корни двух уравнений lg(3x + 1) = -2 и lg(3x + 1) = 1. Первое уравнение равносильно уравнению 3x + 1 = 10-2 , имеющему единственный корень x1 = -0.33. Второе уравнение равносильно уравнению 3x + 1 = 10, также имеющему единственный корень x2 = 3. Ответ: -0,33 ; 3. а, б – уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

№ слайда 9

1.4 Неравенства (Теоретическая часть) Пусть a – данное положительно, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства: logа x > b (1) logа x < b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x > loga x0 (3) loga x < loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, то функция y = loga x возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале (0;+∞). Поэтому для любого числа x > x0 справедливо числовое неравенство loga x > loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а > 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (х0 ;+ ∞), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (0; х0) . Если же 0 < a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x > x0 справедливо числовое неравенство loga x < loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x > loga x0 . Кроме того, равенство loga x = loga x0 справедливо лишь при х = х 0 . Таким образом, при 0 < a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

№ слайда 10

1.4 Неравенства (Теоретическая часть) На координатной плоскости xOy рассмотрим графики функции y = loga x и y = b. Прямая y = b пересекает график функции y = loga x в единственной точке x0 = ab . Если a > 1, то для каждого x > x0 соответствующая точка точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b, т.е. для каждого x > x0 соответствующая ордината y = aх больше, чем ордината aх0 , а для каждого х из интервала 0 < x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x > x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b, а для каждого x из интервалы 0 < x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a > 1) y = b y = loga x (0 < a < 1) х0

№ слайда 11

1.4 Примеры Решим неравенство log1/3 x > -2. (1) Так как -2 = log⅓ 9 , то неравенство (1) можно переписать в виде log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Так как ⅓ < 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x > ½ . (3) Так как ½ = log4 2, то неравенство (3) можно переписать в виде log4 x > log4 2 (4) Так как 4 > 1, то функция y = log4 x возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства (4), а значит и неравенства (3), есть интервал (2;+∞). Ответ: (2;+∞). (см. рис.1) х у 1 2 3 4 1 -1 0 рис.1 y = ½ y = log4 x

№ слайда 12

1.4 Примеры Решим неравенство log3 x – 3log9 x – log81 x > 1,5. (5) Так как log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), то неравенство (5) можно переписать в виде: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1.5 или в виде log3 x < log3 1/9. (6) Так как 3 > 1, то функция y = log3 x возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства (6), а значит и неравенства (5), есть интервал 0 < x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

№ слайда 13

2.1 Степень положительного числа Степень с рациональным показателем Пусть а – положительное число, а p/q – рациональное число (q ≥ 2). По определению число а в степени p/q есть арифметический корень степени q из a в степени p, т.е. a p/q = q√ap . ТЕОРЕМА. Пусть a – положительное число, p – целое число, k и q – натуральные числа, q ≥ 2, k ≥ 2. Тогда справедливы равенства a) ap/q = (a1/p)p ; б) ap/q = a pk /qk ; в) ap = а pq /q ; Свойства степени с рациональным показателем ТЕОРЕМА 1. Положительное число а в степени с любым рациональным показателем r положительно: аr > 0 ТЕОРЕМА 2. Пусть а – положительное число, а r1 , r2 и r – рациональные числа. Тогда справедливы свойства: 1. При умножении степеней с рациональными показателями одного и того же положительного числа показатели степеней складывают: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2 . 2. При делении степеней с рациональными показателями одного и того дже положительного числа показатели степеней вычитают: аr1: аr2 = аr1 – r2 . 3. При возведении степени с рациональным показателем положительного числа в рациональную степень показатели степеней перемножаются: (а r1) r2 = а r1∙ r2 . ТЕОРЕМА 3. Пусть а и b – положительные числа, а r – рациональное число. Тогда справедливы следующие свойства степени с рациональным показателем: Степень с рациональным показателем произведения положительных чисел равна произведению тех же степеней сомножителей: (ab)r = ar ∙ br . Степень с рациональным показателем частного положительных чисел равна частному тех же степеней делимого и делителя: (a / b)r = ar / br . ТЕОРЕМА 4. Пусть число a > 1, а r – рациональное число. Тогда ar > 1 при r > 0 0 < ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a > 1, а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

№ слайда 14

2.2 Показательная функция Рассмотрим функцию y = a (1) , где a > 0 и a ≠ 0, на множестве рациональных чисел. Для каждого рационального числа r определено число ar . Этим функция (1) пока определена на множестве рациональных чисел. График этой функции в системе координат x0y есть совокупность точек (x; ax) , где x – любое рациональное число. При a > 1 этот график схематически изображен на рисунке (1), а при 0 < a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют показательной функцией с основанием а.

№ слайда 15

2.3 Показательные уравнения (Теоретическая часть) 1. Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение ax = b (1) называют простейшим показательным уравнением. Например, уравнения 2х = 8, (1/3)х = 9 , 25х = -25 являются простейшими показательными уравнениями. Корнем (или решением) уравнения с неизвестным x называют число x0 , при подстановке которого в уравнение вместо x получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет. Поскольку ax0 > 0 для любого действительного числа x0, для которого было бы справедливо числовое равенство ax0 = b удовлетворяет единственное число x0 = loga b. Таким образом, уравнение (1) : При b ≤ 0 не имеет корней; При b > 0 имеет единственный корень x0 = loga b. 2. Уравнения, который после замены неизвестного превращаются в простейшие показательные уравнения.

№ слайда 16

2.3 Примеры Решим уравнение (1/2)х = 2 (2) Так как 2 > 1 , то это уравнение имеет единственный корень x0 = log½ 2 = -1. Ответ: -1. Решим уравнение 3х = 5 (3) Так как 5 > 0, то это уравнение имеет единственный корень x0 = log3 5. Ответ: log3 5. Решим уравнение 25х = -25 Так как -25 < 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b > 0 это уравнение часто записывают в виде ax = aα, где α = loga b . Тогда очевидно, что единственный корень этого уравнения, а значит и уравнения (1), есть число α. Так как уравнение (2) можно записать в виде (1/2)х = (1/2)-1 , то его единственный корень x0 = -1. Так как уравнение (3) можно записать в виде 3х = 3log 35 , то его единственный корень x0 = log3 5.

№ слайда 17

2.3 Примеры Теперь рассмотрим уравнения, которые после несложных преобразований превращаются в простейшие показательные уравнения. Решим уравнение 5х+2 - 2·5х - 3·5х+1 = 200 (4) Так как 5х+2 = 25·5х, 5х+1 =5·5х, то уравнение (4) можно переписать в виде 5х · (25 - 2 – 15) = 200 или в виде 5х = 52 (5) Очевидно, что уравнение (5), а значит и уравнение (4), имеют единственный корень x0 = 2. Ответ: 2. Решим уравнение 4· 3х - 9· 2х = 0 (6) Так как 2х ≠ 0 для любого действительного числа, то, разделив уравнение (6) на 2х, получим уравнение 4· (3/2)х - 9 = 0, (7) равносильное уравнению (6). Уравнение (7) можно переписать в виде (3/2)х = (3/2)2 . (8) Так как уравнение (8) имеет единственный корень x0 = 2, то и равносильное ему уравнение (6) имеет единственный корень x0 = 2. Ответ: 2.

№ слайда 18

2.3 Примеры Решим уравнение 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 . (9) Переписав уравнение (9) в виде 34x2 – 8x + 3 = 1 , введем новое неизвестное t = 4x2 – 8x + 3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде 3t = 1. (10) Так как уравнение (10) имеет единственный корень t1 = 0, то для того, чтобы найти корни уравнения (9), надо решить уравнение 4x2 – 8x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня x1 =1/2, х2 = 3/2 , поэтому уравнение (9) имеет те же корни. Ответ: 1/2 ; 3/2 . Теперь рассмотрим решение уравнений, которые после введения нового неизвестного t превращаются в квадратные или рациональные уравнения с неизвестным t. Решим уравнение 4х - 3· 2х + 2 = 0. (11) Так как 4х = (2х)2 , то уравнение (11) можно переписать в виде (2х)2 - 3· 2х + 2 = 0. Введя новое неизвестное t = 2х, получим квадратное уравнение t2 - 3t + 2 = 0, которое имеет два корня t1 = 1, t2 = 2. Следовательно, чтобы найти все корни уравнения (11), надо объединить все корни двух уравнений 2х = 1 и 2х = 2. Решив эти простейшие показательные уравнения, получим, что все корни уравнения (11) есть x1 = 0 ; х2 = 1. Ответ: 0; 1 .

№ слайда 19

2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства ax > b (1) и ax < b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x > 4√3 , 25x < -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 > 0 для любого действительного числа х0 ,то при b ≤ 0 неравенство a x0 > b справедливо для Любого действительного числа х0 , но нет ни одного действительного числа х0 , для которого было бы справедливо числовое неравенство a x0 < b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b > 0, то неравенство (1) и (2) можно переписать в виде ax > ax0 (1) и ax < ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а > 1. Так как для такого а функция y = ax является возрастающей, то для любого числа х > > ax0 , а для любого числа х > x0 справедливо числовое неравенство ax < ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

№ слайда 20

2.4 Показательные неравенства(Теоретическая часть) Таким образом, при b > 0 и a > 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (x0 ;+∞), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (-∞; x0), где x0 = loga b. Пусть теперь 0 < a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х > x0 справедливо числовое неравенство ax < ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b > 0 и 0 < a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax > b и нет таких х, для которых выполнялось бы неравенство ax < b . При b > 0 прямая y = b пересекает график функции y = aх в единственной точке x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b < 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

№ слайда 22

2.4 Примеры Решим неравенство 2x < 8 . (1) Так как 8 > 0, то неравенство (1) можно переписать в виде 2x < 23. (2) Так как 2 > 1, то функция y = 2x возрастающая. Поэтому решениями неравенства (2), а значит и неравенства (1), являются все х < 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 > 0, то это неравенство (3) можно переписать в виде (1/3) x < (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х > log⅓ 5 . Ответ: (log⅓ 5; +∞). Рассмотрим неравенство, которое после замены неизвестного превращается в простейшее показательное неравенство. Решим неравенство 5 3x2 - 2x – 6 < 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 > 1, то все решения этого неравенства есть все t < -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратное неравенство (6), найдем все его решения: -1 < x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

научить учащихся видеть общее в решении соответствующих уравнений и неравенств и различие при записи ответов;
экономия времени;
умение ориентироваться в содержании данного материала.

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств), решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” – 26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум. Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

указать сумму (произведение) корней уравнения;
указать наименьший (наибольший) корень уравнения;
найти наименьшее (наибольшее) целое решение неравенства;
найти сумму (произведение) целых решений неравенства.

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства, которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Приложение 2 . Показательные уравнения и неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и началам анализа.

обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;
создать условия контроля, самоконтроля усвоенных знаний и умений;
способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора;
создать условия для развития познавательного интереса учащихся;
воспитывать ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение работать в группах, общую культуру.

Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ логарифмической функции.
Систематизировать методы решения логарифмических уравнений.
Осуществить диагностику знаний.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар-практикум

Оборудование: учебник, дидактические материалы, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, листы учета знаний, медиапроектор.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация прежних знаний

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

Вычислите

1 вариант
2)
2 вариант
2)

3)

5)

4. Формирование умений и навыков.

Работа в группах с последующей проверкой.

1) Решение логарифмических уравнений по определению логарифма.

Ответ :

Ответ : 256

2) Уравнения, решаемые потенцированием.

Сначала нужно решить уравнение системы, а по неравенству системы проводится отбор корней.

Ответ : 3
Ответ : 3,5

Уравнения, решаемые подстановкой.

Ответ:

Это уравнение равносильно уравнению

Пусть , тогда

Ответ:

Уравнения, решаемые логарифмированием.

.
=Т.о. Ответ : 0,1; 10..
ОДЗ: x. Логарифмируем обе части по основанию 10.
Откуда
Ответ: 1; 4.

Уравнения вида

Это уравнение равносильно уравнению при

.
ОДЗ определяется системой

ОДЗ определяется системой

Ответ: ((0;)

Уравнения, решаемые с использованием различных свойств логарифмов.

Применяем формулу , получим

Подставив эти значения x в исходное уравнение, видим, что – корень уравнения, а 0,1 – не корень уравнения.

Ответ:

Те уравнения, которые вызвали затруднения у учащихся, решаются на доске учениками, справившимися с ними.

5. Физкультминутка

Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

6. Самостоятельная работа

(Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий А, В или С.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

6. Домашнее задание

Повторить П.6.2, 6.3. Д.М. С – 21 №2 (б,в), №3 (г, д) варианты 3 и 4.

7. Итог урока

Итак, мы сегодня с вами решали логарифмические уравнения. А теперь давайте обобщим, какие методы решения уравнений мы применяли:
используя определение логарифма,

с помощью основного логарифмического тождества,

с помощью метода потенцирования,

введения новой переменной,

переход от уравнения с разными основаниями к одному основанию,

с помощью свойств логарифма.

Выставление оценок по количеству “+” в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Незаметно летит время, сегодня вы – десятиклассники, а завтра – уже выпускники. Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха и тогда у тебя обязательно все получится!

Литература:
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В . Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. – М., 2009

Потапов М.К., Шевкин А.В . Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы для 10 класса. – М., 2009.

Шепелева Ю.В . Алгебра и начала математического анализа. Тематические и итоговые тесты для 10 класса. – М., 2009.

Лысенко Ф.Ф . Математика ЕГЭ-2009. Легион. – М., 2009.

Клово А.Г . Математика ЕГЭ-2010 – М., 2010.

Ерина Т.М . Алгебра. Логарифмические уравнения и неравенства – М, 2004.

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Концентрация внимания: Концентрация внимания равна N . N = (число верных ответов) х 0,125 х 100%. Запишите частный случай формулы перехода к логарифму другого основания Запишите формулу перехода к логарифму другого основания Чему равен логарифм степени числа и основания? Чему равен логарифм степени основания? Чему равен логарифм степени числа? Чему равен логарифм частного? Чему равен логарифм произведения? Сформулируйте определение логарифма О т в е т В о п р о с к р о с с – о п р о с

Рассмотрим взаимное расположение графика функции y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и прямой y = b . y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Логарифмические уравнения их типы и методы решения ВЫВОД: График функции y = log a x (a > 0, a ≠ 1) и прямая y = b пересекаются в единственной точке, т.е. уравнение log a x = b, a > 0, a ≠ 1 , x > 0 имеет единственное решение x 0 = a b .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение log a x = b , a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 называется простейшим логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения их типы и методы решения Пример:

Типы и методы решения логарифмических уравнений. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Логарифмическими называются уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма (или и то и другое одновременно). Логарифмические уравнения их типы и методы решения

Типы и методы решения логарифмических уравнений. ДОПОЛНЕНИЕ: При решении логарифмических уравнений необходимо учитывать: область допустимых значений логарифма: под знаком логарифма могут находиться только положительные величины; в основании логарифмов - только положительные величины, отличные от единицы; свойства логарифмов; действие потенцирования. Логарифмические уравнения их типы и методы решения

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 1) Простейшие логарифмические уравнения. Пример №1 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 2) Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим логарифмическим уравнениям. Пример №1 Ответ: Решение:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 3) Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной x преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. С учётом области допустимых значений получим: 10; 100

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 4) Логарифмические уравнения, сводящиеся к рациональным уравнениям. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х преобразуем данное уравнение и получим: Вернёмся к переменной х:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 5) Логарифмические уравнения с переменной в основании и под знаком логарифма. Пример №1 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х преобразуем уравнение и получим: С учётом области допустимых значений переменной х получим:

Логарифмические уравнения их типы и методы решения Типы и методы решения логарифмических уравнений. 5) Логарифмические уравнения с переменной в основании и под знаком логарифма. Пример №2 Ответ: Решение: В найденной области допустимых значений переменной х уравнение равносильно совокупности: С учётом области допустимых значений переменной х получим: 5;6.

Логарифмические уравнения их типы и методы решения

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Область определения: x > 0;

2) Область значений: yR ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) При a>1 функция y=log a x возрастает, при 0 < a < 1 функция y=log a x убывает при всех x > 0, т.е.

a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1 < x 2 ;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

Задачи и тесты по теме "Логарифмические уравнения"

Логарифмические уравнения
Уроков: 4 Заданий: 25 Тестов: 1
Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
§5.1. Решение логарифмических уравнений
Уроков: 1 Заданий: 38
§7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 17
Равносильность уравнений - Уравнения и неравенства 11 класс
Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.

Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Примеры.

Решить уравнения:

a) log 3 (5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log 3 (5х– 1) = 2,
log 3 (5х – 1) = log 3 3 2 ,
5х - 1 =9,
х = 2.