Презентация "взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве". Взаимное расположение прямых в пространстве

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. МОУ СОШ № 63 Шипилова Е.С.

Цели урока: Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a ∩ b a || b Лежат в одной плоскости!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли параллельными прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ? Почему? АА 1 || DD 1 , как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b

Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ α , С D ∩ α = С, С АВ. a b Доказательство: Допустим, что С D и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β . Доказать, что АВ Скрещивается с С D А В С D α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т.к. прямая С D пересекает α . Плоскости, которой принадлежат АВ и С D не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с С D. Ч.т.д.

Закрепление изученной теоремы: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С?

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с С D . Построить α: АВ α , С D || α . А В C D Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || С D . Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α . АВ α , С D || α . α – единственная плоскость. Доказать, что α – единственная. 3. Доказательство: α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую С D.

Задача. Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b . Построение: Через точку К провести прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b . а b К а 1 b 1 3 . Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α . α – искомая плоскость.

Задача №34. А В С D M N P Р 1 К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB

Задача №34. А В С D M N P К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB г) МР и A С д) К N и A С е) М D и B С

Задача №93 α a b М N Дано: a || b MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b . Скрещивающиеся.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Взаимное расположение прямых в пространстве

Цель урока: 1. Повторить и обобщить знания по темевзаимное расположение прямых в пространстве.; систематизировать полученные знания.2. Развивать умственные способности, логическое мышление и математ...

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости"

Мастер-класс: "Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости", по УМК Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич....

Презентация к уроку по обобщению и систематизации знаний и умений по теме "Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые" с использованием ЭОР.Удобно в использовании при дистанционн...

Сопровождение урока обобщения и систематизации знаний и умений по теме «Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые» на основе ЭОР. Содержит характеристику и ссылки на...

Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве: - прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку - прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются - прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости

А 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Свойство, выраженное в аксиоме А 2, используется для проверки « ровности » чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких - то местах между ними и поверхностью стола образуется просвет.

А3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Параллельность прямой и плоскости Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то согласно А2 вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: а) прямая лежит плоскости б) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. пересекаются в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки

Параллельность плоскостей Итак, мы знаем что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома А3). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки. Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола.

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Рассмотрим две плоскости и β. В плоскости лежат пересекающиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β- прямые a 1 и b 1, причем а а 1 и b 1. Докажем, что β. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а β и b β. Допустим, что плоскости и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой. Отсюда следует (по свойству 1 0) что прямые а и с параллельны. Но плоскость проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельны прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и, следовательно, β. Теорема доказана..

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Слайд 2

Все построения на плоскости производятся чертежными инструментами и построения получаются точными, а вот выполнять построения в пространстве можно схематически. Поэтому термины «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям.

Слайд 3: Возможные расположения прямых в пространстве:

Слайд 4

4 b a b Три случая взаимного расположения прямых в пространстве n m l p n m l p II a

Слайд 5

прямые в пространстве Имеют общую точку Не имеют общих точек пересекаются параллельны скрещиваются

Слайд 6

Определение: Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают. Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Определение: Две прямые называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Слайд 7: Задача: Через данную точку К провести прямую, параллельную данной прямой а

Дано: К  a Доказать:  ! b: К  b, b  a Доказательство: Построение 1.Проведем через прямую a и т. К плоскость α. (по Сл.1) 2.Проведем через т. К в плоскости α прямую b, b  a.(А планиметрии) Единственность (от противного) 1.Пусть  b 1: К  b 1, b 1  a.Через прямые a и b 1 можно провести плоскость α 1 (по Сл.3) 2. Прямая a, т.К  α 1 ;  α 1 = α (по точке и прямой в пространстве) (СЛ.1). 3.  b = b 1 (А параллельных прямых). Теорема доказана. К a b

Слайд 8

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются. Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость. Дано: Доказать: a А

Слайд 9

II. Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g

10

Слайд 10

a с Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.  b К

11

Слайд 11

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости. Рассмотрим следующий признак параллельности прямой и плоскости

12

Слайд 12

ТЕОРЕМА 2. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Дано: Доказать:

13

Слайд 13

ТЕОРЕМА 3 (обратная) Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Дано:  β ∩ α = Доказать:  Доказательство: 1) а, b  β а не может ∩ b, так как иначе а ∩ α, что противоречит условию. Следовательно а  в α Теорема доказана.

14

Слайд 14

ТЕОРЕМА 4. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых. Дано: Доказательство: Доказать: а  b α  β = с с  а, c  b α Через а проведена α, через b – β, причем α ∩ β = с По признаку || прямой и плоскости а || β, тогда с  а (Т.3) Аналогично доказывается с|| b

15

Слайд 15

Доказательство: Рассмотрим случай. в, с  β; а, с  α 1. Возьмем т.М, М  а Через т.М и с проведем плоскость α, b и М проведем плоскость β; 2. Т 4: α  β = MN (линия пересечения плоскостей  b и с) 3. Через т.М нельзя провести двух различных прямых с, поэтому MN и а совпадают. 4. Но так как (MN)  b, то и а  b  в  с Теорема доказана. Теорема 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Дано: а  с, b  c Доказать: а  b α М N

16

Слайд 16

а М Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

17

Слайд 17

Способы задания плоскостей Рисунок Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? 1. По трем точкам 2. По прямой и не принадлежащей ей точке. 3. По двум пересекающимся прямым. 4. По двум параллельным прямым.

Решение задач по теме « Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве»

Цели урока:

а) образовательные:

повторить теоретический материал по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве»;

Закрепить умения: решать задачи на доказательство, опираясь на точные аргументы (знания теоретического материала);

при решении стереометрических задач применять знания, полученные при изучении планиметрии;

при выполнении рисунка к задаче учитывать наглядность и правила изображения пространственных фигур

б) развивающие: развитие навыков

самостоятельной работы,

пространственного мышления, логического мышления;

в) воспитательная: воспитывать у учащихся

умения слушать друг друга, задавать вопросы, аргументированно оценивать ответы;

интерес к предмету

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков

Оборудование: компьютер, проектор, презентация

Ход урока.

Организационный момент. Проверка готовности к уроку.

Мотивация урока.

Слайд 3. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов). Сегодня на уроке нам предстоит пережить много приключений.

Актуализация опорных знаний.

Слайд 4. При изучении стереометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и различать, изображать и предполагать. При решении стереометрических задач будем учиться видеть «неочевидное». Начинаем с повторения.

Назовите основные фигуры стереометрии.

Сформулируйте способы задания плоскости.

Слайд 5.

- Сформулируйте определение прямой, параллельной плоскости.

- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

Сформулируйте важное следствие о двух пересекающихся плоскостях, одна из которых содержит прямую, параллельную другой плоскости.

Перечислите случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Сформулируйте определение параллельных и скрещивающихся прямых.

Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Сформулируйте определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

Какой угол называется углом между скрещивающимися прямыми?

Слайд 7,8. Устная работа. Задача1.

1) Дано: точки А,В,С,Д не принадлежат одной плоскости.

Доказать: любые три точки являются вершинами треугольника.

Сначала один ученик рассказывает решение задачи, затем показывается, как можно записать решение письменно. Т.к. метод от противного часто встречается при решении первых стереометрических задач, то необходимо еще раз продемонстрировать алгоритм применения данного метода.

Слайд 9. Задача 2.

Т.к. на первых уроках стереометрии учащиеся затрудняются с записью решения задач, то после устного решения задачи показывается, как можно, используя геометрические знаки и математические обозначения, записать решение данной задачи.

Слайд 10. Задача 3.Найти угол между пересекающимися прямыми.

Какой угол называется углом между двумя пересекающимися прямыми?

Решение задач.

Слайд 11. Решите в тетрадях самостоятельно задачу 1 .

Можно вызвать ученика к доске решать задачу на закрытой от учащихся части доски.

Слайд 12. Затем учащиеся обсуждают и проверяют решение.

Слайд 13. Задача 2. По данному условию выполнить рисунок, составить словесную модель задачи и определить величину, которую можно найти по данному условию.

К доске вызывается ученик и решает задачу с наименьшей помощью со стороны учителя. После того как задача у доски решена, учитель показывает, как можно было записать решение. Обсуждение.

Слайд 14. Задача №3. Прямая МК параллельна стороне СД ромба АВСД и не лежит в плоскости ромба. а) Выясните взаимное расположение прямых МК и ВС б) Найдите угол между прямыми МК и ВС, если

Сначала рисунок к задаче и решение обсуждается с классом. Затем учащиеся записывают решение. Готовый рисунок к задаче можно оставить по необходимости. После того, как задача решена, учитель показывает, как можно было записать решение.

Подведение итогов.

Учащиеся называют какие теоретические сведения были применены при решении задач.

Рефлексия

7) Домашнее задание.

Повторить п.1 – 9.

Решить №45(а), 46(а),38(а).

Повторить №11,23,26