Математическая подготовка. Уровни математической подготовки

«Подготовка - запас знаний, навыков, полученный кем-нибудь». Понятие подготовки можно рассматривать как:

1. «готовить кого-то», в нашем случае школьников, «делать годным, готовым для использования, для какой-нибудь цели»;

2. «работать над выполнением, осуществлением чего-нибудь» .

Говоря о математической подготовке, за основу будем принимать запас знаний, навыков по математике полученный кем-нибудь.

Уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения на двух уровнях: уровне обязательной подготовки и повышенном уровне.

Психолого-педагогические исследования показывают, что в школьной практике знания и умения учащихся оценивают на следующих уровнях:

1 уровень - репродуктивный, уровень осознанного воспринятого и зафиксированного в памяти конкретного знания;

2 уровень - реконструктивный, ученик готов применить знания в знакомой ситуации, по образцу;

3 уровень - творческий - ученик переносит знания в незнакомую ситуацию;

4 уровень - вариативный, в котором ученик сам выводит способы решения.

В.П. Беспалько различает четыре уровня: I - уровень знакомства, II - уровень «репродукции», III - уровень умений, IV - уровень трансформации.

Епишевой О.Б. выделены уровни сформированности знаний учащихся при изучении линии «Уравнения и неравенства», которую мы и возьмем за основу для нашего исследования.

Таблица 1. Уровни сформированности учебной деятельности

I уровень	II уровень	III уровень
Ученик знает
Общие и специальные термины, процесс решения, формулы и алгоритмы решения простейших уравнений	Определения видов уравнений, формулировки их общих и различных свойств, приемы решения и проверки, решение текстовых задач методом уравнений.	Обоснование методов и приемов решения уравнений, искусственные приемы их решения, решение задач методом уравнений, приемы их переноса.
Ученик понимает
Правильно воспроизводит термины, формулировки формул, правил, алгоритмов, выполняет простейшие иллюстрации к задачам, приводит примеры.	Интерпретирует методы и приемы решения уравнений, используя блок-схемы, графики, числовую ось, подводит уравнение под прием решения, выделяет главное в частных и специальных приемах их решения	Имеет представление об уравнениях как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обобщенных методов решения и связи между ними, выводит следствия, находит новые приемы решения
Ученик умеет
Решает простейшие уравнения по данным формулам, алгоритмам, по образцу, проверяет решение подстановкой, находит в учебнике ответы.	Решает типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно выбирая и используя формулы, алгоритмы, составляет простейшие задачи, выделяет главное в учебном тексте	Решает уравнения с параметрами, типовые задачи методом уравнений в нестандартных ситуациях, самостоятельно используя обобщенные и искусственные приемы решения, проверки и переноса.

В дальнейшем, при проведении эксперимента мы будем опираться на данную классификацию уровней сформированности знаний.

§5. Влияние средств систематизации на уровни математической подготовки школьников

Математическая подготовка важна, т.к. ее уровень постоянно оценивается в школах при промежуточных и итоговых аттестациях, а также при сдаче единого государственного экзамена в конце 11 класса по математике. Сдача единого государственного экзамена по математике является обязательной программой для получения аттестата о полном среднем образовании. А для подготовки к экзамену необходимо повторять и систематизировать учебный материал с учащимися. Таким образом, использование элементов систематизации в учебном процессе оказывают огромное влияние при подготовки учащихся к единому государственному экзамену.

Гусев В.А. отмечает, что «фундаментом во всем многообразии» классификаций параметров математических способностей «являются мыслительные процессы, это выдвигает на первый план процессы формирования приемов мыслительной деятельности». Процесс обучения систематизации целиком опирается на закономерности мыслительной деятельности и направлен, прежде всего, на выработку умений выполнять такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение и обобщение, абстрагирование и конкретизация, классификация и систематизация, - следовательно, способствует развитию мышления, а значит и повышению математической подготовки.

Математический объект не может быть правильно понят, если рассматривать его в изолированном виде вне его связи с другими объектами. Практика показывает, что там, где этот принцип нарушается, понимания материала не получается. Очень важно научить ученика выводить некоторые следствия из изучаемого факта. Именно процесс получения таких следствий обеспечивает понимание самого факта .

При использовании средств систематизации учебного материала у учащихся формируются обобщенные и систематизированные знания данного раздела, что существенно влияет на ход и эффективность мыслительных операций.

Повышение качества математического образования: пути формирования ключевых компетентностей педагогов

Васина Дамира Амировна , учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа№38» Ново-Савиновского района г.Казани Республики Татарстан (опубликована на сайте Электронного научно-методического журнала “KAZANOBR.RU”, 2014 г. и в сборнике материалов VШ республиканской научно-методической конференции педагогов общеобразовательных учреждений, преподавателей учреждений среднего и высшего профессионального образования «Интеграция школы и вуза как эффективный инструмент формирования актуальных компетенций учащихся»,

Казань. 2015 г.)

Аннотация

«Математика в России должна стать передовой и привлекательной областью знания и деятельности, получение математических знаний - осознанным и внутренне мотивированным процессом ".

Современное российское общество понимает важность математического образования подрастающего поколения, признает его необходимость. Математика является обязательным предметом на всех этапах школьного обучения с 1-го по 11-й класс, причем на старшей ступени – независимо от выбранного профиля. Кроме того, экзамен по математике входит в число обязательных.

В Концепции развития российского математического образования обозначены три уровня требований к результатам математической подготовки школьников:

для успешной жизни в современном обществе

для прикладного использования математики в дальнейшей учебе и профессиональной деятельности

для подготовки к продолжению образования и творческой работе в математике и смежных с ней научных областях.

Необходимо предоставить каждому учащемуся, независимо от места и условий проживания, возможность достижения любого из уровней математического образования в соответствии с его индивидуальными потребностями и способностями.

Новые требования к результатам образовательной деятельности требуют решения накопившихся за годы проблем:

несоответствие объема содержания учебному времени, отводимому на его изучение (сокращение времени на изучение математики происходит на фоне увеличения учебного материала, н-р, введение в школьную математику элементов теории вероятностей и математической статистики);

перегрузка программ техническими элементами и устаревшим содержанием, оторванным от жизни;

нехватка квалифицированных учителей математики, которые могли бы качественно преподавать математику;

недостаточная эффективность системы дополнительного профессионального образования преподавателей и др.

Математика - объективно трудный предмет, ее изучение всегда строится с опорой на пройденное ранее, а если это пройденное не осознано, не усвоено, то и дальнейшее изучение математики становится в принципе невозможным.

Выход из этого «кризиса» состоит в оптимизации образовательного процесса в школе за счет грамотного сочетания традиционных, хорошо зарекомендовавших себя технологий обучения и современных педагогических технологий, образовательных ресурсов.

Анализ результатов ГИА по математике свидетельствует о том, что школьники успешно справляются с заданиями репродуктивного характера, отражающими овладение предметными знаниями и умениями. Однако их результаты при выполнении заданий на применение знаний в практических, жизненных ситуациях, содержание которых представлено в нестандартной форме, гораздо ниже. Обучающиеся показывают значительно более низкие результаты при выполнении заданий, в которых требуется провести анализ данных или их интерпретацию, сформулировать гипотезы и выводы, использовать классификацию и сравнение. Достижения компетентностного подхода, проблемно ориентированного, личностно ориентированного, развивающего образования смогут обеспечить понимание и усвоение учащимися большого объема информации без потери интереса к предмету.

Ведущей деятельностью в подростковом возрасте является деятельность общения, а не учебная деятельность. Следовательно, формы организации учебного процесса должны согласовываться с этой возрастной психологической особенностью подростков, например, за счет активного использования групповых методов работы, проведения учебных исследований, выполнения проектов. Эти методы позволяют ребятам работать в коллективе, где они могут проявить свои личностные качества и индивидуальные способности.

Бурное развитие коммуникационных и информационных технологий требует более интерактивных и поисковых форм обучения, а ускоряющиеся темпы изменений особо подчеркивают актуальность принципа "Век живи - век учись". Основным способом реализации данных возможностей на уроке математики является использование специализированного программного обеспечения, н-р:

Любому человеку в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Поэтому для человека, который не свяжет дальнейшую жизнь с математикой, наиболее важным является практический аспект математики. В настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня. Компьютерный математический анализ данных предполагает некоторое математическое преобразование данных с помощью определенных программных средств. Существует значительное количество специализированных математических пакетов, таких как MatLab, MatbCad, Math, Mathematica, Maple и др. Освоение этих пакетов самостоятельно - д
остаточно трудоемкая задача. Поэтому представляется оправданным реализовать в старших классах подход, основанный на применении математических методов с помощью пакета Excel. Конечно, Excel сильно уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее большое количество математических задач может быть решено с его помощью.

Чтобы безболезненно работать по новым ФГОС и добиваться хороших результатов учителю математики необходимо повышать собственную профессиональную компетентность.

Для формирования профессиональной компетентности можно выделить следующие этапы: самоанализ и осознание необходимости; планирование саморазвития (цели, задачи, пути решения); самопроявление, анализ, самокорректировка.

Для самоанализа своей деятельности по определенной методической теме или инновации, учитель может воспользоваться SWOT-анализом и устаовить исходную точку отсчета. После проведения повторного SWOT-анализа он сможет выбрать оптимальный путь развития, избежать опасностей и максимально эффективно использовать имеющиеся в распоряжении ресурсы. Например, данный SWOT-анализ составлен для определения уровня работы учителя над повышением учебной мотивации:

П
ри построении индивидуальной программы развития педагогом главным критерием, определяющим цели, задачи, структуру и временную перспективу программы, являются потребности и мотивы самого педагога, работающего в условиях инновационной деятельности. Результатом реализации индивидуальной программы развития является осмысление педагогом своей профессиональной позиции и выстраивание собственной траектории профессионального развития в условиях инновационной деятельности.

Процесс формирования профессиональной компетентности так же сильно зависит от среды, поэтому именно среда должна стимулировать профессиональное саморазвитие. Необходимо создать те условия, в которых учитель самостоятельно осознает необходимость повышения уровня собственных профессиональных качеств.

Отдельным направлением должно стать математическое просвещение и популяризация математики. Требуется обеспечение непрерывной поддержки и повышения уровня математических знаний для удовлетворения любознательности человека, его общекультурных потребностей, приобретение знаний и навыков, применяемых в повседневной жизни и профессиональной деятельности. «Одновременно должны развиваться такие новые формы, как получение математического образования в дистанционной форме, интерактивные музеи математики, математические проекты на интернет-порталах и в социальных сетях, профессиональные математические интернет-сообщества". «Математика в России должна стать передовой и привлекательной областью знания и деятельности, получение математических знаний - осознанным и внутренне мотивированным процессом "(Концепция развития российского математического образования).

1. Утвердить прилагаемую Концепцию развития математического образования в Российской Федерации.

2. Минобрнауки России утвердить в 3-месячный срок план мероприятий по реализации Концепции развития математического образования в Российской Федерации.

Председатель Правительства
Российской Федерации
Д.Медведев

Прим. ред.: текст распоряжения опубликован на официальном интернет-портале правовой информации http://www.pravo.gov.ru, 27.12.2013.

Концепция развития математического образования в Российской Федерации

Настоящая Концепция представляет собой систему взглядов на базовые принципы, цели, задачи и основные направления развития математического образования в Российской Федерации.

I. Значение математики в современном мире и в России

Математика занимает особое место в науке, культуре и общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса. Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин. Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе. Успех нашей страны в XXI веке, эффективность использования природных ресурсов, развитие экономики, обороноспособность, создание современных технологий зависят от уровня математической науки, математического образования и математической грамотности всего населения, от эффективного использования современных математических методов. Без высокого уровня математического образования невозможны выполнение поставленной задачи по созданию инновационной экономики, реализация долгосрочных целей и задач социально-экономического развития Российской Федерации, модернизация 25 млн. высокопроизводительных рабочих мест к 2020 году. Развитые страны и страны, совершающие в настоящее время технологический рывок, вкладывают существенные ресурсы в развитие математики и математического образования.

Россия имеет значительный опыт в математическом образовании и науке, накопленный в 1950-1980 годах. Форсированное развитие математического образования и науки, обеспечивающее прорыв в таких емких стратегических направлениях, как информационные технологии, моделирование в машиностроении, энергетике и экономике, прогнозирование природных и техногенных катастроф, биомедицина, будет способствовать улучшению положения и повышению престижа России в мире. Система математического образования, сложившаяся в России, является прямой наследницей советской системы. Необходимо сохранить ее достоинства и преодолеть серьезные недостатки. Повышение уровня математической образованности сделает более полноценной жизнь россиян в современном обществе, обеспечит потребности в квалифицированных специалистах для наукоемкого и высокотехнологичного производства.

II. Проблемы развития математического образования

В процессе социальных изменений обострились проблемы развития математического образования и науки, которые могут быть объединены в следующие основные группы.

1. Проблемы мотивационного характера

Низкая учебная мотивация школьников и студентов связана с общественной недооценкой значимости математического образования, перегруженностью образовательных программ общего образования, профессионального образования, а также оценочных и методических материалов техническими элементами и устаревшим содержанием, с отсутствием учебных программ, отвечающих потребностям обучающихся и действительному уровню их подготовки. Все это приводит к несоответствию заданий промежуточной и государственной итоговой аттестации фактическому уровню подготовки значительной части обучающихся.

2. Проблемы содержательного характера

Выбор содержания математического образования на всех уровнях образования продолжает устаревать и остается формальным и оторванным от жизни, нарушена его преемственность между уровнями образования. Потребности будущих специалистов в математических знаниях и методах учитываются недостаточно. Фактическое отсутствие различий в учебных программах, оценочных и методических материалах, в требованиях промежуточной и государственной итоговой аттестации для разных групп учащихся приводит к низкой эффективности учебного процесса, подмене обучения "натаскиванием" на экзамен, игнорированию действительных способностей и особенностей подготовки учащихся. Математическое образование в образовательных организациях высшего образования оторвано от современной науки и практики, его уровень падает, что обусловлено отсутствием механизма своевременного обновления содержания математического образования, недостаточной интегрированностью российской науки в мировую.

3. Кадровые проблемы

В Российской Федерации не хватает учителей и преподавателей образовательных организаций высшего образования, которые могут качественно преподавать математику, учитывая, развивая и формируя учебные и жизненные интересы различных групп обучающихся. Сложившаяся система подготовки, профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогических работников не отвечает современным нуждам. Выпускники образовательных организаций высшего образования педагогической направленности в своем большинстве не отвечают квалификационным требованиям, профессиональным стандартам, имеют мало опыта педагогической деятельности и опыта применения педагогических знаний. Подготовка, получаемая подавляющим большинством студентов по направлениям математических и педагогических специальностей, не способствует ни интеллектуальному росту, ни требованиям педагогической деятельности в общеобразовательных организациях. Преподаватели образовательных организаций высшего образования в большинстве своем оторваны как от современных направлений математических исследований, включая прикладные, так и от применений математики в научных исследованиях и прикладных разработках своей образовательной организации высшего образования. Система дополнительного профессионального образования преподавателей недостаточно эффективна и зачастую просто формальна в части совершенствования математического образования.

III. Цели и задачи Концепции

Цель настоящей Концепции - вывести российское математическое образование на лидирующее положение в мире. Математика в России должна стать передовой и привлекательной областью знания и деятельности, получение математических знаний - осознанным и внутренне мотивированным процессом.

Изучение и преподавание математики, с одной стороны, обеспечивают готовность учащихся к применению математики в других областях, с другой стороны, имеют системообразующую функцию, существенно влияют на интеллектуальную готовность школьников и студентов к обучению, а также на содержание и преподавание других предметов.

Задачами развития математического образования в Российской Федерации являются:

Модернизация содержания учебных программ математического образования на всех уровнях (с обеспечением их преемственности) исходя из потребностей обучающихся и потребностей общества во всеобщей математической грамотности, в специалистах различного профиля и уровня математической подготовки, в высоких достижениях науки и практики;

Обеспечение отсутствия пробелов в базовых знаниях для каждого обучающегося, формирование у участников образовательных отношений установки "нет неспособных к математике детей", обеспечение уверенности в честной и адекватной задачам образования государственной итоговой аттестации, предоставление учителям инструментов диагностики (в том числе автоматизированной) и преодоления индивидуальных трудностей;

Обеспечение наличия общедоступных информационных ресурсов, необходимых для реализации учебных программ математического образования, в том числе в электронном формате, инструментов деятельности обучающихся и педагогов, применение современных технологий образовательного процесса;

Повышение качества работы преподавателей математики (от педагогических работников общеобразовательных организаций до научно-педагогических работников образовательных организаций высшего образования), усиление механизмов их материальной и социальной поддержки, обеспечение им возможности обращаться к лучшим образцам российского и мирового математического образования, достижениям педагогической науки и современным образовательным технологиям, создание и реализация ими собственных педагогических подходов и авторских программ;

Поддержка лидеров математического образования (организаций и отдельных педагогов и ученых, а также структур, формирующихся вокруг лидеров), выявление новых активных лидеров;

Обеспечение обучающимся, имеющим высокую мотивацию и проявляющим выдающиеся математические способности, всех условий для развития и применения этих способностей;

Популяризация математических знаний и математического образования.

IV. Основные направления реализации Концепции

1. Дошкольное и начальное общее образование

Система учебных программ математического образования в дошкольном и начальном образовании при участии семьи должна обеспечить:

В дошкольном образовании - условия (прежде всего предметно-пространственную и информационную среду, образовательные ситуации, средства педагогической поддержки ребенка) для освоения воспитанниками форм деятельности, первичных математических представлений и образов, используемых в жизни;

В начальном общем образовании - широкий спектр математической активности (занятий) обучающихся как на уроках, так и во внеурочной деятельности (прежде всего решение логических и арифметических задач, построение алгоритмов в визуальной и игровой среде), материальные, информационные и кадровые условия для развития обучающихся средствами математики.

2. Основное общее и среднее общее образование

Математическое образование должно:

Предоставлять каждому обучающемуся возможность достижения уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе;

Обеспечивать каждого обучающегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне, используя присущую математике красоту и увлекательность;

Обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.

В основном общем и среднем общем образовании необходимо предусмотреть подготовку обучающихся в соответствии с их запросами к уровню подготовки в сфере математического образования.

Необходимо предоставить каждому учащемуся независимо от места и условий проживания возможность достижения соответствия любого уровня подготовки с учетом его индивидуальных потребностей и способностей. Возможность достижения необходимого уровня математического образования должна поддерживаться индивидуализацией обучения, использованием электронного обучения и дистанционных образовательных технологий. Возможность достижения высокого уровня подготовки должна быть обеспечена развитием системы специализированных общеобразовательных организаций и специализированных классов, системы дополнительного образования детей в области математики, системы математических соревнований (олимпиад и др.). Соответствующие программы могут реализовываться и организациями высшего образования (в том числе в рамках существующих и создаваемых специализированных учебно-научных центров университетов, а также сетевых форм реализации образовательных программ).

Достижение какого-либо из уровней подготовки не должно препятствовать индивидуализации обучения и закрывать возможности продолжения образования на более высоком уровне или изменения профиля.

Необходимо стимулировать индивидуальный подход и индивидуальные формы работы с отстающими обучающимися, прежде всего привлекая педагогов с большим опытом работы.

Совершенствование содержания математического образования должно обеспечиваться в первую очередь за счет опережающей подготовки и дополнительного профессионального образования педагогов на базе лидерских практик математического образования, сформировавшихся в общеобразовательных организациях.

3. Профессиональное образование

Система профессионального образования должна обеспечивать необходимый уровень математической подготовки кадров для нужд математической науки, экономики, научно-технического прогресса, безопасности и медицины. Для этого необходимо разработать современные программы, включить основные математические направления в соответствующие приоритетные направления модернизации и технологического развития российской экономики.

Студенты, изучающие математику, включая информационные технологии, и их преподаватели должны участвовать в математических исследованиях и проектах. Преподавателям математических факультетов классических университетов необходимо вести признаваемые профессиональным сообществом фундаментальные исследования, а их студенты должны уделять значительно больше времени, чем в настоящее время, решению творческих учебных и исследовательских задач. Преподаватели математических кафедр технических университетов должны вести исследования в фундаментальной математике или в прикладных профильных областях, выполнять работы по заказу организаций, в которых принимают участие и студенты (аналогично для экономических и других образовательных организаций высшего образования), преподаватели математических кафедр педагогических вузов должны работать со школьниками, участвовать в разработке аттестационных материалов, учебных пособий для школьников. Студентам (в том числе готовящимся стать учителями и воспитателями в организациях, осуществляющих образовательную деятельность) необходимо решать задачи элементарной математики в зоне своего ближайшего развития, в существенно большем объеме, чем сегодня, проходить практику в школе, используя эту деятельность как основу и мотивирующий фактор для получения психолого-педагогических знаний.

Взаимодействие органов, осуществляющих управление в сфере образования, образовательных организаций высшего образования и общеобразовательных организаций должно быть ориентировано на поддержку прихода в школу лучших выпускников математических факультетов педагогических образовательных организаций высшего образования, выпускников профильных специальностей классических университетов. Необходимо обеспечить лучшим выпускникам, обучавшимся по программам математической направленности образовательных организаций высшего образования и имеющим склонности и способности к педагогической работе, возможность преподавать в образовательной организации высшего образования.

4. Дополнительное профессиональное образование, подготовка научно-педагогических работников образовательных организаций высшего образования и научных работников научных организаций, математическая наука

Для успешных преподавателей должна быть обеспечена возможность их профессионального роста в форме научной и прикладной работы, дополнительного профессионального образования, включая стажировку в организациях - лидерах фундаментальных и прикладных исследований в области математики и математического образования.

Важной является поддержка в России мировых организаций, решающих задачу подготовки исследователей и преподавателей высшего уровня, в том числе создание научно-образовательных центров мирового уровня, приглашающих ученых для проведения исследовательской работы и участия в разработке образовательных программ.

Образовательные организации высшего образования и научные центры должны обеспечить передовой уровень фундаментальных и прикладных исследований в области математики и их использование в математическом образовании. Необходимо усилить интеграцию российских математических исследований в мировую науку, обеспечить достижение математическими факультетами ведущих российских университетов высоких позиций в мировых рейтингах, а также рост качества, количества и цитируемости работ российских математиков, привлекательность российского математического образования для лучших иностранных студентов и профессоров. Должна повыситься мобильность студентов, аспирантов и молодых кандидатов наук, должно развиваться сотрудничество между образовательными организациями высшего образования и исследовательскими институтами.

Для решения задач настоящей Концепции предусматривается доработать систему оценки труда с учетом специфики деятельности и международной практики оценки труда преподавателей математики, научно-педагогических работников образовательных организаций высшего образования и научных работников научных организаций, занятых по профилю математики.

Образовательные организации высшего образования и исследовательские центры должны участвовать в работе по математическому просвещению и популяризации математических знаний среди населения России.

5. Математическое просвещение и популяризация математики, дополнительное образование

Для математического просвещения и популяризации математики предусматривается:

Обеспечение государственной поддержки доступности математики для всех возрастных групп населения;

Создание общественной атмосферы позитивного отношения к достижениям математической науки и работе в этой области, понимания важности математического образования для будущего страны, формирование гордости за достижения российских ученых;

Обеспечение непрерывной поддержки и повышения уровня математических знаний для удовлетворения любознательности человека, его общекультурных потребностей, приобретение знаний и навыков, применяемых в повседневной жизни и профессиональной деятельности.

Система дополнительного образования, включающая математические кружки и соревнования, является важнейшей частью российской традиции математического образования и должна быть обеспечена государственной поддержкой. Одновременно должны развиваться такие новые формы, как получение математического образования в дистанционной форме, интерактивные музеи математики, математические проекты на интернет-порталах и в социальных сетях, профессиональные математические интернет-сообщества.

V. Реализация Концепции

Реализация настоящей Концепции обеспечит новый уровень математического образования, что улучшит преподавание других предметов и ускорит развитие не только математики, но и других наук и технологий. Это позволит России достигнуть стратегической цели и занять лидирующее положение в мировой науке, технологии и экономике.

Реализация настоящей Концепции будет способствовать разработке и апробации механизмов развития образования, применимых в других областях.

В. Рыжик,
лицей «Физико-техническая школа»,С.-Петербург

Интернет-тесты готовности к продолжению математического образования

Для оперативного контроля знаний и умений по математике учеников средней школы достаточно давно используются дидактические материалы - специально подобранные и систематизированные упражнения. В последние годы у нас появляется еще одна форма такого контроля - тесты. На западе, особенно в США, они используются достаточно давно.

Тесты у нас стали признаны, издается много их различных вариантов. Уже проводятся в тестовой форме и выпускной экзамен, и вступительные в иные вузы. Несколько раз проходила научно-методическая конференция по тестированию, появился журнал «Вопросы тестирования в образовании». Тесты естественно вписываются в современные педагогические концепции: в самом деле, по мере взросления учеников падает чувствительность наставников к их ошибкам - пусть дети учатся находить свои ошибки самостоятельно. Но тогда от привычных форм контроля вполне естественно перейти к более сжатым. В частности, не обязательно досконально проверять ученические работы, как мы привыкли, да еще подчеркивая красным сделанные ошибки. Можно ограничиться только проверкой ответов, что уже происходит реально. Мне известно, что на основании такой именно проверки выставляются оценки на вступительных экзаменах. Но тогда использование тестов - совершенно естественное продолжение этой тенденции.

Вместе с тем известна негативная реакция на их использование. Она особенно усилилась у нас после того, как тестовая форма проверки стала использоваться на выпускных школьных экзаменах. И действительно, есть основания для тревоги. Поясню.

Выпускные экзамены (содержание и форма) направляют работу учителя - это раз. Математическое содержание наших нынешних экзаменационных тестов гораздо ниже содержания традиционных заданий на экзамене - это два. Предполагается государственное финансовое обеспечение высшего образования каждого конкретного студента в зависимости от его результатов на едином государственном экзамене - выпускном и вступительном одновременно - это три. Следствие из указанных утверждений вполне очевидно: снижение уровня общего среднего математического образования произойдет само собой. Учителя будут ориентировать учеников на экзаменационную тестовую проверку, а потому тесты появятся не только на экзаменах, но и на контрольных работах, а также в процессе текущего контроля. Тем самым примитивизируется содержание среднего математического образования, но кроме того, ученики перестанут и писать, и говорить на математическом языке. И впрямь, зачем все это, когда надо только кружочки рисовать.

Не сразу, конечно, все это случится, еще велика инерция, да и старые учителя так просто «не сдадутся». Но, как говорится, «процесс пошел». Образно говоря, под наше математическое образование подложена мина замедленного действия. Когда она сработает - неизвестно, но ясно, что виновных будет уже не сыскать.

А то, что сработает - хорошо видно на примере США. Достаточно почитать, что думают о системе тестирования (да и системе образования) американцы, обеспокоенные интеллектуальным потенциалом своего государства. Преподавание математики в старших классах сводится там к натаскиванию на выполнение достаточно примитивных заданий, в которых к тому же существует элемент угадывания правильного результата из ряда ответов, в котором приведены и совершенно нелепые. США «выкручиваются», набирая в аспиранты лучшие «мозги» со всего мира. А мы как будем выходить из положения?

Теперь ясно, в чем можно безоговорочно согласиться с критиками тестовой проверки - внедряемый «американизированный» ее вариант (если так можно выразиться) по содержанию и форме несовместим с нашими традициями.

Где же истина? Как всегда, требуется точнее осмыслить ситуацию. Тестовая проверка - всего лишь средство для достижения определенных целей. Беда начинается тогда, когда оно используется не для тех целей, а если и для тех, то объявляется единственным, к тому же насаждается насильственно. Смысл тестовой проверки на экзамене аналогичен экспресс-анализу в других сферах человеческой деятельности. И только! Какими бы ни были тесты, они не должны быть единственным средством диагностики, применяемым в школе.

Я не думаю, что могут быть серьезные возражения против экспресс-анализа где бы то ни было, в том числе и в образовании. Надо только понимать, что это экспресс-анализ, и четко представлять себе границы его применимости.

В чем главное достоинство проверки по тестам? В скорости. В конце концов, при отработанной технологии можно довести дело до полностью автоматизированной проверки, обеспечив тем самым максимально возможную ее объективность. Но выигрывая в скорости проверки, мы что-то должны проигрывать - выигрывать по всем параметрам невозможно, некий аналог закона сохранения, например энергии. Что мы проигрываем при переходе к тестам? Мы проигрываем в культуре математической речи (письменной или устной) - ее с помощью тестов не проверишь. Впрочем, на это не обращают особого внимания. Мы проигрываем в основательности. Ясно, что традиционная проверка позволяет гораздо глубже «копнуть» ученика.

Тут же встает вопрос - что мы вообще хотим проверить? Обычно идет речь о проверке знаний и умений. Но хорошо известно, что одних только знаний и простейших умений, даже на приличном уровне, недостаточно для успешного обучения в вузе, особенно на первых курсах. Ощущение безнадежности вызывает математическая культура и математическое мышление абитуриентов, натасканных только на воспроизведение заученного и работу по алгоритмам или алгоритмическим предписаниям. Следовательно, хорошо бы проверять что-то еще.

С этой же проблемой мы встречаемся и в школе. Я работаю учителем математики в лицее «Физико-техническая школа» при Физико-техническом институте имени А.Ф. Иоффе и Санкт-Петербургском техническом университете. Ее важнейшая роль - быть начальным звеном в системе непрерывного образования: школа, высшее учебное заведение, научный институт. Принципиальными в работе школы являются два момента: отбор будущих учеников в восьмой или десятый классы и подготовка к продолжению образования на базовых кафедрах Физико-технического института. Постоянно перед нами возникают два вопроса.

1. Отобрали ли мы в школу достаточно подготовленных ребят? Не упустили ли мы такого школьника, который мог бы достойно войти в науку?
2. Достаточна ли наша подготовка для продолжения образования на «трудных» факультетах Технического университета? Подчеркиваю, не для поступления на эти факультеты - тут сомнений нет, - а для успешного обучения. (Аналогичные проблемы возникают и при переходе от начальной школы к основной и внутри основной школы - после шестого класса.)

При решении этой проблемы был поставлен четкий вопрос, можно ли соединить на приемлемом уровне достоинства традиционной и тестовой проверки? Моей целью (одной из целей) является создание соответствующей батареи тестов.

Любой тест диагностирует те или иные свойства индивида. Я остановился на таком интегральном свойстве (латентной переменной): «готовность к продолжению математического образования». Точное определение этого свойства не очень понятно. Ясно, что такая готовность предполагает нечто большее, чем владение некоторой суммой фактических знаний и умений решать более или менее типовые задачи. Но что? Я особо выделяю некоторые довольно бесспорные проявления готовности:

1) умение аргументировать или опровергать имеющееся высказывание;
2) умение проанализировать условие задачи на определенность (возможность получить однозначный ответ) и корректность (непротиворечивость условия);
3) умение установить наличие или отсутствие связей между высказываниями;
4) умение проанализировать логическую структуру высказывания;
5) владение понятиями в общей форме;
6) умение перевести аналитическую зависимость в наглядную форму;
7) рефлексию, то есть способность отделить личное знание от незнания.

В конечном счете, для так поставленной цели не так важно, знает ли школьник ту или иную формулу, а важно, можно ли на основании его работы хотя бы в одном разделе математики судить о его готовности к продолжению математического образования. Но есть и «тайный» смысл всей работы - разобраться в структуре и функционировании этого свойства интеллекта (а может быть, и не только интеллекта).

Я хотел также, чтобы предполагаемые тесты использовались не только для констатации наличия или отсутствия «готовности», но и для диагностирования определенной степени «готовности».

Все тесты предполагают выборочную форму ответа, насколько я знаю, еще не применявшуюся. Форма ответа такова: «Да» (условно «+»), «Нет» (условно «–»), «Не знаю» (условно «0»), «Задача некорректная» (условно «!»), «Задача неопределенная» (условно «?»). Я плохо понимаю «американизированные» тесты, в которых нужно выбрать ответ между, скажем, пятью предложенными числами, из которых только одно верное. Откуда берутся остальные четыре числа? Добро бы они соответствовали наиболее часто встречающимся ошибкам учеников, но вряд ли такое возможно аккуратно сделать даже теоретически. И полагаю, что будет лучше, если ученик даст ответ «Не знаю», чем будет наугад тыкать в предлагаемый ему набор ответов. Ответ «Не знаю» позитивен, поскольку демонстрирует способность к рефлексии. Что касается некорректных или неопределенных заданий, то в них проверяется умение ученика анализировать условие задачи.

В реальных испытаниях я за верный ответ ставлю «+ 1», за неверный ответ - «– 1», за ответ «Не знаю» - «0» (если только такой ответ не является по существу верным, то есть ученик в принципе не может знать ответа на данный вопрос - такие задания тоже есть). В результате суммарное число баллов, набранных конкретным учеником, может быть меньше числа его верных ответов. Но именно по суммарному количеству баллов дается окончательная оценка за выполнение теста (или батареи тестов). Мораль ясна - ученику «выгоднее» выдавать только такие ответы, в которых он абсолютно уверен. И если, тем не менее, среди выданных им ответов есть неверные, то это говорит о недостатках всей его системы знаний в целом.

Оценка эффективности всей батареи тестов представляется достаточно сложной процедурой.

Во-первых, необходимо оценивать качество каждого теста: соответствие программе и реальным возможностям школьников, учитывая при этом сильно действующие временные ограничения на выполнение ими тестовых заданий. Если соответствие программе можно проверить, анализируя только литературу, то проверка «посильности» каждого теста и даже каждого задания в одном отдельно взятом тесте возможна только после проверки в реальном эксперименте.

Во-вторых, желательна оценка «представительности» всей батареи тестов - насколько она охватывает весь программный материал или хотя бы наиболее существенную его часть (из конъюнктурных соображений).

И наконец, главное - составленные тесты необходимо «прокрутить» несколько раз, чтобы отобрать из них наиболее представительные, наиболее информативные с точки зрения диагностики «готовности». В заключение добавлю, что вся работа по созданию тестов представляется достаточно длинной, и само написание их - только начало.

Вероятно, потребуется увеличение их числа, чтобы они могли использоваться в разных типах школ. Далее потребуется работа по подготовке их к опубликованию. И наконец, предполагается создание компьютерного варианта тестов. Тогда и учет сделанного учениками, и интегральная оценка их работы, и оценка качества самих тестов примут более современный характер. Начало этой работе положено, и уже существует компьютерный вариант некоторой части этих тестов. Иначе говоря, ученика можно посадить за компьютер, запустить программу и... проверка началась. После окончания учеником работы возможна распечатка, в которой каждому будет указано, на какие вопросы он ответил правильно, а также общая сумма набранных им баллов. (Мне любопытно было посмотреть реакцию на эти тесты американских школьников, ведь такой контроль для них - дело привычное. Примерно 20 тестов были переведены на английский и в компьютерном варианте предлагались желающим в одной из школ США. У меня сохранились их письменные отзывы, весьма благоприятные, хотя фактические результаты учеников не были высокими.)

Сообщения о создании такой батареи (ее идеологии и небольшой экспериментальной проверке) были сделаны мной на трех семинарах в США в 1994–1997 годах, на совместном российско-американском семинаре в 1998 году, на конференции в Москве в 2001 году. Издана небольшая подборка тестов по теме «Числа», есть несколько публикаций в газете «Математика».

У меня уже есть некоторый опыт работы с частью этих тестов - в текущем контроле и на экзаменах. По тестам я проводил переводной экзамен в 10-м классе по алгебре и началам анализа и четыре экзамена по геометрии - в 8, 9, 10, 11-х классах, в том числе выпускных.

До экзамена ученики никогда не работали с тестами, и на консультациях был проведен подробный инструктаж.

В каждом классе на экзамен отводилось 4 часа. Расчет был простой: всего 12 тестов, в каждом по пять заданий, итого - 60 заданий. На каждое задание я положил в среднем 3 минуты, итого - 180 минут, то есть 3 часа. Плюс один час «про запас». Оказалось, что времени достаточно; дольше всех, почти «под звонок», работали старшеклассники.

Каковы же были первые впечатления от итогов?

1. Проверка одной работы занимает 1 минуту.
2. Оценки, полученные учениками, в целом соответствуют их годовым оценкам. Разница между ними в два балла была исключением и только в лучшую для ученика сторону.

Мне ясно, что тестовая форма экзамена себя оправдала.

И все бы хорошо, но дьявол, как говорится, сидит в деталях. При формулировке неопределенных заданий я встретился с заметными логическими и языковыми трудностями. Что, собственно, имеется в виду, когда задается, к примеру, такой вопрос: «Верно ли, что a 2 >1?» (Для простоты будем считать, что переменная a задана на максимально «широком» множестве - множестве всех вещественных чисел.)

Если мы спрашиваем «верно ли?», то имеем дело с высказыванием. Однако напрямую здесь высказывания нет - есть предикат (выражение с переменной, высказывательная форма) или даже что-то еще из-за вопросительной формы задания. Чтобы превратить его в высказывание, требуется на переменную a «навесить» некий квантор - всеобщности или существования (и в какой-то момент убрать вопросительную форму). Какой же квантор - по умолчанию - «навешен» на переменную a в таком задании? если подразумевается квантор всеобщности (верно ли для любого a ...), то ответ - нет. Если подразумевается квантор существования (верно ли, что существует a ...), то ответ - да. В любом случае ответ меня никак не устраивал. Я-то хочу, чтобы ответ был такой: «Смотря, какое a» или, что равносильно, «Иногда да, иногда нет».

Поясню эту мысль простым примером. Возьмем утверждение «Маша любит кашу». Если вам предложат высказать к нему свое отношение (как говорят в математике или логике, выяснить его истинность), то вполне естественным будет ответ типа: «Смотря, какая Маша и, смотря, какая каша». Именно такого рода и я хочу получить ответ в математических заданиях.

Ситуацию я вижу не простой ибо она «завязана» на язык - естественный и математический. Принятые в математике кванторы «убивают» неопределенность. Вернемся к ситуации с «Машей и кашей». Если я скажу, к примеру, как принято в математике, с максимальной четкостью «Любая Маша любит любую кашу» или «Есть такая Маша, которая любит любую кашу», то здесь ответ однозначен - «Да» либо «Нет». Но мне-то нужно как раз отсутствие однозначности!

Что было делать? Я решил все же как-то закодировать неопределенность с помощью слова «некоторый». Перейду к примерам. Для начала про ту же Машу: «Некоторая Маша любит некоторую кашу». Тут уже возможна неоднозначность ответа - кто знает, что это за Маша, может быть, она в принципе не любит любую кашу. Теперь - к математике. Задание таково: «Пусть a - некоторое вещественное число. Верно ли неравенство a 2 >–1?» Разумеется, ответ «да», ибо оно верно всегда. Пусть теперь задание таково: «Верно ли неравенство a 2 <–1?» Разумеется, ответ «нет», ибо оно всегда неверно. Наконец, пусть задание таково: «Верно ли неравенство a 2 >1?» А теперь ответ таков: иногда да, иногда нет (см. тест 1 в приведенных ниже примерах тестов).

И еще знак для ответа надо было придумать. Знак «+» я оставил для ответа «Да», знак «–» для ответа «Нет», а для ответа «Иногда да, иногда нет» - знак «?».

Наконец, можно убрать вопросительную форму предложения и сразу задать высказывание в такой форме: «Пусть a - некоторое вещественное число. Неравенство a 2 > 1 является верным».

Но и тут возможны нюансы. Именно, если ситуация в таком тесте неоднозначна, то можно условиться ставить знак «+»; если же она однозначна, то можно ставить знак «–». Тогда можно обойтись и без знака «?».

Есть и более мелкие неясности. Например, можно ли зафиксировать разницу между учеником, который в конкретном задании дал ответ «0», и учеником, который вообще не приступал к его решению? Какое-то различие, несомненно, присутствует, но мне пока неясно, как его зафиксировать.

Теперь - примеры тестов.

Два некоторых числа a и b не равны друг другу. Тогда они противоположны, если о них известно, что...

1. a + b = 0.
2. a 2 + b 2 = 0.
3. a 3 + b 3 = 0.
4. a 2 – b 2 = 0.
5. a 2 b + a b 2 = 0.

О числе A было высказано три утверждения:

(1) A делится на 3;
(2) A делится на 4;
(3) A делится на 6.

Утверждение P является верным:

1. P: «Если (3), то (1)».
2. P: «Если (1), то (3)».
3. P: «Если (2), то (3)».
4. P: «Если (1) и (2), то (3)».
5. P: «Если (1) и (3), то (2)».

Есть такое значение a , при котором число 1 является корнем уравнения...

1. x 2 – a x = 0.
2. x 2 – 5a x + 6a 2 = 0.
3. a 2 x + 1 = 0.
4. a 2 x 2 + a x + 1 = 0.
5. a 10 x 5 + a 5 x 2 – 2x = 0.

Число A положительно.

Из этого следует, что число 1 является пределом при x ® x 0 функции g(x), если...

1. g(x) = f 2 (x).

3. g(x) = (f(x)) 0,5 .
4. g(x) = f –1 (x). (Функция f –1 (x) - обратная к функции f(x).)
5. g(x) = f(f(x)).

Дана функция y = a x 2 + x + 1 при a № 0. Верны такие утверждения:

1. Любая функция такого вида имеет хотя бы один корень.
2. Найдется функция такого вида, которая имеет отрицательный корень.
3. Найдется функция такого вида, которая имеет корень больший, чем 1.
4. Нет функции такого вида, которая при положительном значении x равняется 1.
5. Любая функция такого вида может быть больше 1 при отрицательном значении x.

Дана некоторая функция y(x) = a x 2 + 1 (a № 0). На любом замкнутом промежутке эта функция...

1. Положительна.
2. Монотонна.
3. Ограничена.
4. Имеет максимум.
5. Имеет наименьшее значение.

Функция f задана на R. Уравнения f(x) = 0 и g(f(x)) = f(0) равносильны, если функция g(x) такова:

1. x 0,5 .
2. 2 x .
3. ln x.
4. sin x.
5. arctg x.

Две стороны треугольника равны 10 и 20. Тогда...

1. Если в этом треугольнике есть ось симметрии, то его периметр равен 50.
2. Если периметр этого треугольника равен 60, то он тупоугольный.
3. Если угол между данными сторонами прямой, то расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин, до каждой из них больше 10.
4. Если его площадь равна 100, то он остроугольный.
5. Если один из углов 150°, то против стороны, равной 10, лежит угол больший, чем 15°.

Наибольшая площадь сечения...

1. Больше 1, если оно проведено в кубе с ребром 1 и является треугольником.
2. Меньше 1, если оно проведено в правильном тетраэдре с ребром 1 и является параллелограммом.
3. Меньше 1, если оно проведено в правильной треугольной призме с ребром, равным 1, и является треугольником.
4. Больше 1, если оно проведено в четырехугольной пирамиде с ребром, равным 1, параллельно двум боковым ребрам и является треугольником.
5. Больше 1, если оно проведено в тетраэдре PABC (в нем ребро PB перпендикулярно основанию ABC и AB=BC=CA=PB=1) и проходит перпендикулярно AC.

Журнал «Компьютерные инструменты в образовании», № 2/2002 г.

ДИСТАНЦИОННОЕ

Ры1жик Валерий Идельевич

ИНТЕРНЕТ-ТЕСТЫ ГОТОВНОСТИ К ПРОДОЛЖЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Тесты у нас стали признаны, издается много их различных вариантов. Уже проводятся в тестовой форме и выпускной экзамен, и вступительный в иные ВУЗы. Несколько раз проходила научно-методическая конференция по тестированию, появился журнал «Вопросы тестирования в образовании». Тесты естественно вписываются в современные педагогические концепции: в самом деле, по мере взросления учеников, падает чувствительность наставников к их ошибкам - пусть дети учатся находить свои ошибки самостоятельно. Но тогда от привычных форм контроля вполне естественно перейти к более сжатым. В частности, не обязательно досконально проверять ученические работы, как мы привыкли, да еще подчеркивая красным сделанные ошибки. Можно ограничиться только проверкой ответов, что уже происходит реально. Мне известно, что на основании такой именно проверки выставляют оценки на вступи-

тельных экзаменах. Но тогда использование тестов - совершенно естественное продолжение этой тенденции.

роля. Тем самым примитивизируется содержание среднего математического образования, но кроме того, ученики перестанут и писать, и говорить на математическом языке. И впрямь, зачем все это, когда надо только кружочки рисовать.

А то, что сработает - хорошо видно на примере США. Достаточно почитать, что думают о системе тестирования (да и системе образования) американцы, обеспокоенные интеллектуальным потенциалом своего государства. Преподавание математики в старших классах сводится там к натаскиванию на выполнение достаточно примитивных заданий, в которых к тому же существен элемент угадывания правильного результата из ряда ответов, в котором приведены и совершенно нелепые. США впоследствии выкручиваются, набирая в аспиранты лучшие «мозги» со всего мира. А мы как будем выходить из положения?

ственным средством диагностики, применяемым в школе.

В чем главное достоинство проверки по тестам? В скорости. В конце концов, при отработанной технологии можно довести дело до полностью автоматизированной проверки, обеспечив тем самым максимально возможную ее объективность. Но выигрывая в скорости проверки, мы что-то должны проигрывать -выигрывать по всем параметрам невозможно, некий аналог закона сохранения, например, энергии. Что мы проигрываем при переходе к тестам? Мы проигрываем в культуре математической речи (письменной или устной) - ее с помощью тестов не проверишь. Впрочем, на это не обращают особого внимания. Мы проигрываем в основательности. Ясно, что традиционная проверка позволяет гораздо глубже «копнуть» ученика.

Тут же встает вопрос - что мы вообще хотим проверить? Обычно идет речь о проверке знаний и умений. Но хорошо известно, что одних только знаний и простейших умений, даже на приличном уровне, недостаточно для успешного обучения в ВУЗе, особенно на первых курсах. Ощущение безнадежности вызывает математическая культура и математическое мышление абитуриентов, натасканных только на воспроизведение заученного и работу по алгоритмам или алгоритмическим предписаниям. Следовательно, хорошо бы проверять что-то еще.

С этой же проблемой мы встречаемся и в школе. Я работаю учителем математики в Лицее «Физико-техническая школа» при Физико-техническом институте имени А.Ф. Иоффе и Санкт-Петербургском Техническом Университете. Ее важнейшая роль - быть начальным звеном в системе непрерывного образования: школа, высшее учебное заведение, научный институт. Принципиальными в рабо-

те школы являются два момента: отбор будущих учеников в восьмой или десятый классы и подготовка к продолжению образования на базовых кафедрах Физико-технического института. Постоянно перед нами возникают два вопроса:

1. Отобрали ли мы в школу достаточно подготовленных ребят? Не упустили ли мы такого школьника, который мог бы достойно войти в науку?

2. Достаточна ли наша подготовка для продолжения образования на «трудных» факультетах Технического университета? Подчеркиваю, не для поступления на эти факультеты - тут сомнений нет, - а для успешного обучения. (Аналогичные проблемы возникают и при переходе от начальной школы к основной и внутри основной школы - после шестого класса).

При решении этой проблемы был поставлен четкий вопрос: можно ли соединить на приемлемом уровне достоинства традиционной и тестовой проверки? Моей целью (одной из целей) является создание соответствующей батареи тестов.

повые задачи. Но что? Я особо выделяю некоторые довольно бесспорные проявления готовности: 1) умение аргументировать или опровергнуть имеющееся высказывание; 2) умение проанализировать условие задачи на определенность (возможность получить однозначный ответ) и корректность (непротиворечивость условия);

3) умение установить наличие или отсутствие связей между высказываниями;

4) умение проанализировать логическую структуру высказывания; 5) владение понятиями в общей форме; 6) умение перевести аналитическую зависимость в наглядную форму; 7) рефлексию, то есть способность отделить личное знание от незнания.

В конечном счете для так поставленной цели не так важно, знает ли школьник ту или иную формулу, а важно, можно ли на основании его работы хотя бы в одном разделе математики судить о его готовности к продолжению математического образования. Но есть и «тайный» смысл всей работы - разобраться в структуре и функционировании этого свойства интеллекта (а может быть, и не только интеллекта).

Я хотел также, чтобы предлагаемые тесты использовались не только для констатации наличия или отсутствия «готовности», но и для диагностирования определенной степени «готовности».

Все тесты предполагают выборочную форму ответа, насколько я знаю, еще не применявшуюся. Форма ответа такова: «Да» (условно «+»), «Нет» (условно «-»), «Не

знаю» (условно «0»), «Задача некорректная» (условно «!»), «Задача неопределенная» (условно «?»). Я плохо понимаю «американизированные» тесты, в которых нужно выбирать ответ между, скажем, пятью предложенными числами, из которых только одно верное. Откуда берутся остальные четыре числа? Добро бы они соответствовали наиболее часто встречающимся ошибкам учеников, но вряд ли такое возможно аккуратно сделать даже теоретически. И полагаю, что будет лучше, если ученик даст ответ «не знаю», чем будет наугад тыкать в предлагаемый ему набор ответов. Ответ «не знаю» позитивен, поскольку демонстрирует способность к рефлексии. Что касается некорректных или неопределенных заданий, то в них проверяется умение ученика анализировать условие задачи.

В реальных тестовых испытаниях я за верный ответ ставил «+1», за неверный ответ «-1», за ответ «Не знаю» - «0» (если только такой ответ не является по существу верным, то есть ученик в принципе не может знать ответа на данный вопрос -такие задания тоже есть). В результате суммарное число баллов, набранных конкретным учеником, может быть меньше числа его верных ответов. Но именно по суммарному числу баллов дается окончательная оценка за выполнение теста (или батареи тестов). Мораль ясна - ученику «выгоднее» выдавать только такие ответы, в которых он абсолютно уверен. И если, тем не менее, среди выданных им ответов есть неверные, то это говорит о недостатках всей его системы знаний в целом.

Оценка эффективности всей батареи тестов представляется достаточно сложной процедурой.

Во-первых, необходимо оценивать качество каждого теста - соответствие программе и реальным возможностям школьников, учитывая при этом сильно действующие временные ограничения на выполнение ими тестовых заданий. Если соответствие программе можно проверить, анализируя только литературу, то проверка «посильности» каждого теста и даже каждого задания в одном отдельно взятом тесте возможна только после проверки в реальном эксперименте.

И, наконец, главное - составленные тесты необходимо «прокрутить» несколько раз, чтобы отобрать из них наиболее представительные, наиболее информативные с точки зрения диагностики «готов-

«"еЛ» (усоЮ&Яа «-»)...

ности». В заключение добавлю, что вся работа по созданию тестов представляется достаточно длинной, и само написание их - только начало.

Вероятно, потребуется увеличение их числа, чтобы они могли использоваться в разных типах школ. Далее потребуется работа по подготовке их к опубликованию. И, наконец, предполагается создание компьютерного варианта тестов. Тогда и учет сделанного учениками, и интегральная оценка их работы, и оценка качества самих тестов примут более современный характер. Начало этой работе положено, и уже существует компьютерный вариант некоторой части этих тестов. Иначе говоря, ученика можно посадить за компьютер, запустить программу и - проверка началась. После окончания работы учеником возможна распечатка, в которой каждому будет указано, на какие вопросы он ответил правильно, а также общая сумма набранных им баллов. (Мне любопытно было посмотреть реакцию на эти тесты американских школьников, ведь такой контроль для них - дело привычное. Примерно 20 тестов были переведены на английский и в компьютерном варианте предлагались желающим в одной из школ США. У меня сохранились их письменные отзывы, весьма благоприятные, хотя фактические результаты учеников не были высокими).

Сообщения о создании такой батареи тестов (ее идеологии и небольшой эк-

спериментальной проверке) были сделаны мной на трех семинарах в США в 1994-1997 годах, на совместном российско-американском семинаре в 1998 году, на конференции в Москве в 2001 году. Издана небольшая подборка тестов по теме «Числа», есть несколько публикаций в газете «1 сентября».

У меня уже есть некоторый опыт работы с частью этих тестов - в текущем контроле и на экзаменах. По тестам я проводил переводной экзамен в 10 классе по алгебре и началам анализа и четыре экзамена по геометрии - в 8, 9, 10, 11 классах, в том числе выпускные.

До экзамена ученики никогда не работали с тестами, и на консультациях был проведен подробный инструктаж.

В каждом классе на экзамен отводилось 4 часа. Расчет был простой - всего 12 тестов, в каждом по пять заданий, итого - 60 заданий. На каждое задание я положил в среднем 3 минуты, итого - 180 минут, то есть 3 часа. Плюс один час «про запас». Оказалось, что времени достаточно, дольше всех, почти «под звонок», работали старшеклассники.

Каковы же первые впечатления от итогов?

1. Проверка одной работы занимает 1 минуту.

2. Оценки, полученные учениками, в целом соответствуют их годовым оценкам. Разница между ними в два балла была исключением и только в лучшую для ученика сторону.

Мне ясно, что тестовая форма экзамена себя оправдала.

И все бы хорошо, но дьявол, как говорится, сидит в деталях. При формулировке неопределенных заданий я встретился с заметными логическими и языковыми трудностями. Что, собственно, имеется в виду, когда задается, к примеру, такой вопрос: «Верно ли, что а2 > 1?» (Для простоты будем считать, что переменная а задана на максимально «широком» множестве -множестве всех вещественных чисел.)

Если мы спрашиваем «верно ли?», то имеем дело с высказыванием. Однако напрямую здесь высказывания нет - есть предикат (выражение с переменной, выс-казывательная форма) или даже что-то еще из-за вопросительной формы задания. Чтобы превратить его в высказывание, требуется на переменную а «навесить» некий квантор - всеобщности или существования (и в какой-то момент убрать вопросительную форму). Какой же квантор -по умолчанию - «навешен» на переменную а в таком задании? Если подразумевается квантор всеобщности (верно ли для любого а...), то ответ - нет. Если подразумевается квантор существования (верно ли, что существует а...), то ответ - да. В любом случае ответ меня никак не устраивал. Я-то хочу, чтобы ответ был такой: «Смотря, какое а» или, что равносильно, - «Иногда да, иногда нет».

Поясню эту мысль простым примером. Возьмем утверждение «Маша любит кашу». Если вам предложат высказать к нему свое отношение - как говорят в ма-

тематике или логике, выяснить его истинность, - то вполне естественной будет ответ типа: «Смотря, какая Маша, и смотря, какая каша». Именно такого рода я и хочу получить ответ в математических заданиях.

Ситуацию я вижу непростой ибо она «завязана» на язык - естественный и математический. Принятые в математике кванторы «убивают» неопределенность. Вернемся к ситуации с «Машей и кашей». Если я скажу, к примеру, как принято в математике, с максимальной четкостью «Любая Маша любит любую кашу» или «Есть такая Маша, которая любит любую кашу», то здесь ответ однозначен - «да» либо «нет». Но мне - то нужно как раз отсутствие однозначности!

Что было делать? Я решил все же как-то закодировать неопределенность с помощью слова «некоторый». Перейду к примерам. Для начала про ту же Машу: «Некоторая Маша любит некоторую кашу». Тут уже возможна неоднозначность ответа - кто знает, что это за Маша, может быть, она в принципе не любит любую кашу. Теперь - к математике. Задание таково: «Пусть а - некоторое вещественное число. Верно ли неравенство а2>- 1»? Разумеется, ответ «да», ибо оно верно всегда. Пусть теперь задание таково: «Верно ли неравенство а2<-1?» Разумеется, ответ «нет», ибо оно всегда неверно. Наконец, пусть задание таково: «Верно ли неравенство а2> 1»? А теперь ответ таков: иногда да, иногда нет (см. тест 1 в приведенных ниже примерах тестов).

яасоррек&яая.» (усло&Яо «!»).

И еще знак для ответа надо было придумать. Знак «+» я оставил для ответа «да», знак «-» для ответа «нет», а для ответа «иногда да, иногда нет» использую знак «?».

Наконец, можно убрать вопросительную форму предложения и сразу задать высказывание в такой форме: «Пусть а некоторое вещественное число. Неравенство а2 > 1 является верным».

Но и тут возможны нюансы. Именно, если ситуация в таком тесте неоднозначна, то можно условиться ставить знак «+»; если же она однозначна, то можно ставить знак «-». Тогда можно обойтись и без знака «?».

Теперь - примеры тестов. Тест 1.

Два некоторых числа а и Ь не равны друг другу. Тогда они противополож ны, если о них известно, что:

2. а2 + Ь2 = 0.

3. а3 + Ь3 = 0.

4. Р: «Если (1) и (2) , то (3).»

5. Р: «Если (1) и (3) , то (2) .»

Есть такое значение а, при котором число 1 является корнем уравнения:

1. х2 - ах = 0.

2. х2 - 5ах + 6а2 = 0.

3. а2х + 1 = 0.

4. а2х2 + ах + 1 =0.

5. а10х5 + а5х2 - 2х = 0.

Число А положительно

Из этого следует, что число 1 является пределом при x ® x0 функции g(x), если:

1. g(x) = f 2(x).

2. g(x) = 1/f(x).

4. а2 - Ь2 = 0.

5. а2Ь + аЬ2= 0.

О числе А было высказано три утверждения:

(1) А делится на 3.

(2) А делится на 4.

(3) А делится на 6.

Утверждение Р является верным:

1. Р: «Если (3) , то (1).»

2. Р: «Если (1) , то (3).»

3. Р: «Если (2) , то (3).»

Зарала (усло&Яь

спОкм... ya fteáefefruü Ofñé&ñ «-1».

3. £(*) = (Дх)) 0"5.

4. g(x) = Д -1(х). (ФункцияД -1(х) - обратная к функции Д (х)).

5. g(x) = Д(Д(х)).

Дана функция у = ах2 + х +1 при а Ф 0. Верны такие утверждения:

1. Любая функция такого вида имеет хотя бы один корень.

2. Найдется функция такого вида, которая имеет отрицательный корень.

3. Найдется функция такого вида, которая имеет корень, больший, чем 1.

4. Нет функции такого вида, которая при положительном значении х равняется 1.

5. Любая функция такого вида может быть больше 1 при отрицательном значении х.

Дана некоторая функция у(х) = ах2 + 1 (а Ф 0). На любом замкнутом промежутке эта функция:

1. Положительна.

2. Монотонна.

3. Ограничена.

4. Имеет максимум.

5. Имеет наименьшее значение.

Функция Д задана на Я. Уравнения Д(х) = 0 и g(Дx)) = g(0) равносильны, если функция g(x) такова:

Две стороны треугольника равны 10 и 20. Тогда:

1. Если в этом треугольнике есть ось симметрии, то его периметр равен 50.

2. Если периметр этого треугольника равен 60, то он тупоугольный.

3. Если угол между данными сторонами прямой, то расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин, до каждой из них больше 10.

4. Если его площадь равна 100, то он остроугольный.

5. Если один из углов 150°, то против стороны, равной 10, лежит угол больший, чем 15°.

Наибольшая площадь сечения:

1. Больше 1, если оно проведено в кубе с ребром 1 и является треугольником.

2. Меньше 1, если оно проведено в правильном тетраэдре с ребром 1 и является параллелограммом.

3. Меньше 1, если оно проведено в правильной треугольной призме с ребром, равным 1, и является треугольником.

4. Больше 1, если оно проведено в четырехугольной пирамиде с ребром, равным 1, параллельно двум боковым ребрам и является треугольником.

5. Больше 1, если оно проведено в тетраэдре PABC (в нем ребро PB перпендикулярно основанию ABC и AB = BC = = CA = PB = 1) и проходит перпендикулярно AC.

Ры1жик Валерий Иделъевич, учитель математики лицея «Физико-техническая школа».

Программа развития математического образования в школе. Успехи современного естествознания

Математическая подготовка. Уровни математической подготовки

В. Рыжик, лицей «Физико-техническая школа»,С.-Петербург

Интернет-тесты готовности к продолжению математического образования

В. Рыжик,
лицей «Физико-техническая школа»,С.-Петербург