Открытое и замкнутое числовые множества. Свойства открытых и замкнутых множеств

ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО

в топологическом пространстве - , содержащее все свои предельные точки. Таким образом, все точки дополнения к 3. м.- внутренние, и потому 3. м. можно определить как к открытому. Понятие 3. м. лежит в основе определения топологич. пространства как непустого множества Xс заданной системой множеств (называемых замкнутыми), удовлетворяющей аксиомам: все Xи замкнуты; любого числа 3. м. замкнуто; конечного числа 3. м. замкнуто.

Лит : Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1, М., 1966.

А. А. Мальцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО" в других словарях:

замкнутое множество - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN closed set … Справочник технического переводчика

Для термина «Замкнутость» см. другие значения. Замкнутое множество подмножество пространства дополнение к которому открыто. Содержание 1 Определение 2 Замыкание 3 Свойства … Википедия

Множество, открытое (замкнутое) относительно нек рого множества Е, множество Мтопологич. пространства Xтакое, что (черта сверху означает операцию замыкания). Для того чтобы нек рое множество было открытым (замкнутым) относительно Е, необходимо и… … Математическая энциклопедия

Подмножество топологич. пространства, одновременно открытое и замкнутое в нем. Топологич. пространство Xнесвязно тогда и только тогда, когда в нем имеется отличное от Xи от О. з. м. Если семейство всех О. з. м. топологич. пространства является… … Математическая энциклопедия

Или катлокус точки в римановом многообразии подмножество точек, через которые не проходит ни одна кратчайшая из. Содержание 1 Примеры … Википедия

Для одноимённого математического понятия, смотрите Замкнутое множество и Пространство (математика) Ливневая канализация … Википедия

Книги

• Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем , Александр Булинский. Монография посвящена исследованию асимптотических свойств широкого класса стохастических моделей, возникающих в математической статистике, теории перколяции, статистической физике и теории…

Результат операции “*” определяется как и в таблице Пифагора. Например, “произведение” 3 * 4 равно числу, стоящему на пересечении строки с номером 3 и столбца с номером 4. В нашем случае это число равно 2. Следовательно, 3 * 4 = 2. Как вы думаете, по какому правилу была заполнена эта таблица?

Заметим, что результат выполнения операции “*” над числами из множества {0, 1, 2, ..., 9} является числом из этого же множества. В таких случаях говорят, что множество замкнуто относительно операции, а операция называется алгебраической .

Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что таблица симметрична относительно диагонали
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, . . .). Это говорит о том, что операция “*” обладает свойством коммутативности , то есть для любых чисел a и b из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: a * b = b * a .

Используя таблицу, вы сможете убедиться, что выполняется равенство (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4). Набравшись терпения и перебрав все упорядоченные тройки чисел, вы убедитесь, что новая операция обладает свойством ассоциативности , то есть для любых чисел a , b , c из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: (a * b ) * c = a * (b * c ).

Проверьте, будет ли множество {0, 1, 2, ..., 9} замкнуто относительно умножения, задаваемого таблицей Пифагора.

Р ассмотренные примеры могут создать у вас впечатление, что как бы вы ни вводили операцию над числами, она всегда будет коммутативной и ассоциативной. Не будем спешить с выводом.

Рассмотрим еще одну операцию. Обозначим ее через “o” и назовем операцией “Круг”. Она определяется таблицей:

Попытайтесь найти закономерность, по которой составлена данная таблица. Опираясь на эту закономерность, впишите в таблицу пропущенные результаты. Будет ли операция “o” алгебраической? Докажите, что операция “o” коммутативна . Однако эта операция не ассоциативна ! Чтобы убедиться в этом, подберите три числа m , n и k , для которых m o (n o k ) ¹ (m o n ) o k .

П редставим вам еще одну операцию: -.

Введем ее на множестве натуральных чисел так: m - n = m n .

Например, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

Будет ли операция “-” алгебраической? Рассмотренного выше примера достаточно, чтобы убедиться, что новая операция не коммутативна .

Вычислите результат выполнения операции
2 - (1 - 3), а затем проверьте равенство 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Если вы все сделаете правильно, то сможете сказать, что операция “-” не ассоциативна .

1. Являются ли алгебраическими операции сложения и умножения на множестве:

а) четных чисел; б) нечетных чисел?

2. Является ли алгебраической операция вычитания на множестве:

а) натуральных чисел; б) целых чисел?

3. Является ли алгебраической операция деления на множестве:

а) ненулевых целых чисел;

б) ненулевых рациональных чисел?

4. Покажите, что операция

x D y = x + y – 3

5. Покажите, что операция

x Ñ y = x + y – xy

является алгебраической на множестве всех целых чисел. Будет ли эта операция ассоциативной и/или коммутативной?

6. По аналогии с таблицей Пифагора составьте свою таблицу, определяющую операцию “à” над числами {0, 1, 2, 3, 4}. Результат m à n операции над числами m и n в этой таблице должен равняться остатку от деления на 5 обычного произведения mn .

Будет ли операция “à” алгебраической? Если да, то будет ли она ассоциативной и/или коммутативной?

7. Придумайте несколько своих примеров операций над числами.

Какие из них будут алгебраическими? Какие из ваших алгебраических операций будут ассоциативными и/или коммутативными?

Для тех, кто хочет вести секретную переписку с друзьями

О днажды Фома получил от одного из своих друзей телеграмму.

Кто такой Фома? О! Это личность весьма примечательная. Ничему на слово не верит, все пытается делать по-своему. Любит, с одной стороны, находить новое решение старых проблем и, с другой стороны, использовать старые знания для преодоления новых трудностей. Любит читать самые разные математические книги, разыскивать в них нестандартные ситуации и находить из них выход. А больше всего любит сам такие ситуации создавать.

Так вот, телеграмма была какой-то странной. Вот что в ней было написано:

“йажзеирпончорсмедж”.

Сможете ли вы “прочитать” этот текст? Фома же, немного подумав, понял секрет этой телеграммы. В ней было приглашение в гости. Он решил ответить в том же духе. Сочинил ответную телеграмму и зашифровал ее таким же способом. Получилась запись из двух строк: “приеду в субботу встречайте”, “етйачертсвутоббусвудеирп”.

Однако Фоме захотелось придумать более интересную шифровку. Он разбил текст своей телеграммы на две равные части и каждую из них зашифровал по старому методу:

П осле окончания шифровки Фома захотел всю свою переписку с другом вести только зашифрованными текстами, меняя время от времени способ шифровки. Поэтому он рьяно взялся за разработку шифра.

Буквы исходного текста он решил заменять номерами позиций, которые занимают эти буквы. Вот какой список номеров получил Фома для телеграммы друга: (1, 2, 3, ..., 18).

Затем он заметил, что зашифрованный текст отличается от исходного только измененным порядком букв. Как изменяется порядок букв, легко увидеть с помощью тех же номеров позиций. Например, зашифрованный текст телеграммы друга Фома теперь смог представить в виде списка: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).

Сопоставление этих двух списков дает ключ к шифровке текста:
.

Символьная запись читается так: “1 переходит в 18”. (Вместо нее часто используется другая запись: 1 ® 18.)

Направление стрелок определяет порядок шифровки текста. Например, буква, стоящая в шифруемом тексте в первой позиции, должна занять в зашифрованном тексте 18-ю позицию.

Если направление стрелок сменить на противоположное, то та же двустрочная таблица будет определять порядок расшифровки текста. Например, буква, стоящая в зашифрованном тексте в 18-й позиции, должна занять в расшифрованном тексте первую позицию.

Наконец, если первая строка будет всегда связана с исходным текстом, то отпадет необходимость в использовании стрелок. (При шифровке исходным текстом является шифруемый текст, а при расшифровке – зашифрованный.)

Поняв все это, Фома быстро записал ключ ко 2-ой шифровке своей телеграммы:

.

Осталось только сообщить каким-либо образом
этот ключ своему другу – и тайна переписки будет гарантирована!

Если идеи Фомы вы поняли, то вот вам его девиз в зашифрованном виде:

“водянойпероревряй”.

Оно зашифровано ключом:

Вы, вероятно, уже догадываетесь, что шифровальных ключей подобного вида можно придумать очень много. Каждый из них можно представить в виде двустрочной таблицы:

.

Здесь в верхней строке стоят все натуральные числа от 1 до n в возрастающем порядке. Нижняя строка получается некоторой перестановкой чисел из верхней строки. Вся таблица в целом называется подстановкой порядка n .

В ернемся к Фоме. С помощью подстановки-ключа

он зашифровал сообщение, состоящее из одного слова, и отправил его другу. Нерасшифрованное сообщение тот зашифровал еще раз, но уже с помощью другого ключа:

.

Получившееся дважды зашифрованное сообщение он адресовал вам:

“сноас”.

Расшифруйте это сообщение.

Процесс расшифровки вы можете провести значительно быстрее, если будете знать, как над подстановками выполняется одна алгебраическая операция. Эта операция называется умножением подстановок . (При желании вы можете назвать ее по-другому, ибо она никак не связана с обычным умножением чисел.)

Рассмотрим на примере, как она выполняется. Умножим подстановки, с помощью которых шифровалось сообщение Фоме:

.

Процедура умножения сводится к последовательному проведению подстановок.

В первой подстановке (А ) 1 ® 5;

во второй подстановке (В ) 5 ® 1.

В итоге получаем: 1 ® 1.

Аналогично, из “2 ® 2” и “2 ® 3” следует: “2 ® 3”. Проведя еще три рассуждения такого типа, получим подстановку-произведение

.

Заметим, что произведение определено только для подстановок с одинаковым числом столбцов.

Используя подстановку AB как шифратор, вы можете теперь в один прием расшифровать сообщение Фомы “сноас”. Заодно проконтролируете себя.

Если вам будет интересно, то можете придумать свои подстановки-шифраторы сообщений и вести тайную переписку с друзьями.

Занимаясь расшифровкой сообщений, вы познакомились с алгебраической операцией над новыми объектами – подстановками.

Е сли кого-то из вас заинтересовали не только шифровки, но и сами по себе подстановки, то вы можете лучше познакомиться с ними, выполнив следующие задания.

1. Найдите произведения подстановок:

2. Найдите произведение ВА подстановок А и В , рассмотренных выше. Используя подстановку ВА как шифратор, расшифруйте еще раз сообщение “сноас”. Сравните расшифрованный текст с результатом предыдущей расшифровки.

Если вы выполните задание 2, то сможете сказать, обладает ли умножение подстановок свойством коммутативности .

Можно показать, что умножение подстановок обладает свойством ассоциативности .

Прежде, чем обратиться к следующему заданию, рассмотрим несколько общих свойств подстановок.

Подстановка

называется тождественной . Ее обозначают через E .

Как вы сами легко установите, тождественная подстановка не меняет текста сообщения. В этом случае говорят, что сообщение идет открытым текстом.

Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств .

Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты , а несобственные интервалы и открыты . Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

• 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
• 2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
• 3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или, если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:

Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, а значит. Далее, так как b есть нижняя грань множества, то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо, либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо, либо. Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.

Множество натуральных чисел образуют числа 1, 2, 3, 4, ..., используемые для счёта предметов. Множество всех натуральных чисел принято обозначать буквой N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n , ...} .

Законы сложения натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a + b = b + a . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения.

2. Для любых натуральных чисел a , b , c верно равенство (a + b ) + c = a + (b + c ) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом сложения.

Законы умножения натуральных чисел

3. Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba . Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом умножения.

4. Для любых натуральных чисел a , b , c верно равенство (a b )c = a (b c ) . Это свойство называют сочетальным (ассоциативным) законом умножения.

5. При любых значениях a , b , c верно равенство (a + b )c = ac + bc . Это свойство называют распределительным (дистрибутивным) законом умножения (относительно сложения).

6. При любых значениях a верно равенство a *1 = a . Это свойство называют законом об умножении на единицу.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Или, говоря иначе, эти операции можно выполнить, оставаясь во множестве натуральных чисел. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так, из числа 3 нельзя, оставаясь во множестве натуральных чисел, вычесть число 7; число 15 нельзя разделить на 4 нацело.

Признаки делимости натуральных чисел

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Эти условия, как для суммы, так и для произведения, являются достаточными, но не необходимыми. Например, произведение 12*18 делится на 36, хотя ни 12, ни 18 на 36 не делятся.

Признак делимости на 2. Для того, чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была чётной.

Признак делимости на 5. Для того, чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была либо 0, либо 5.

Признак делимости на 10. Для того, чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того, чтобы натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры были 00, 04, 08 или двузначное число, образованное последними двумя цифрами данного числа, делилось на 4.

Признак делимости на 2 (на 9). Для того, чтобы натуральное число делилось на 3 (на 9), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (на 9).

Множество целых чисел

Рассмотрим числовую прямую с началом отсчёта в точке O . Координатой числа нуль на ней будет точка O . Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными числами. Пусть на числовой прямой задана точка A с координатой 3. Она соответствует положительному числу 3. Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки O , в направлении, противоположном заданному. Тогда получим точку A" , симметричную точке A относительно начала координат O . Координатой точки A" будет число - 3. Это число, противоположное числу 3. Числа, расположенные на числовой прямой в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными числами.

Числа, противоположные натуральным, образуют множество чисел N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Если объединить множества N , N" и одноэлементное множество {0} , то получим множество Z всех целых чисел:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Для целых чисел верны все перечисленные выше законы сложения и умножения, которые верны для натуральных чисел. Кроме того, добавляются следующие законы вычитания:

a - b = a + (- b ) ;

a + (- a ) = 0 .

Множество рациональных чисел

Чтобы сделать выполнимой операцию деления целых чисел на любое число, не равное нулю, вводятся дроби:

Где a и b - целые числа и b не равно нулю.

Если к множеству целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей, то получается множество рациональных чисел Q :

.

При этом каждое целое число является также рациональным числом, так как, например, число 5 может быть представлено в виде , где числитель и знаменатель - целые числа. Это бывает важно при операциях над рациональными числами, из которых одно может быть целым числом.

Законы арифметических действий над рациональными числами

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной:

Это свойство используется при сокращении дробей.

Сложение дробей. Сложение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

То есть, для сложения дробей с разными знаменателями дроби приводятся к общему знаменателю. На практике при сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями дроби приводятся к наименьшему общему знаменателю. Например, так:

Для сложения дробей с одинаковыми числителями достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним.

Умножение дробей. Умножение обыкновенных дробей определяется следующим образом:

То есть, для умножения дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Деление дробей. Деление обыкновенных дробей определяется следующим образом:

То есть, для деления дроби на дробь нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и произведение записать в числитель новой дроби, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и произведение записать в знаменатель новой дроби.

Возведение дроби в степень с натуральным показателем. Эта операция определяется следующим образом:

То есть, для возведения дроби в степень числитель возводится в эту степень и знаменатель возводится в эту степень.

Периодические десятичные дроби

Теорема. Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Например,

.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а конечная или бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической.

При этом любую конечную десятичную дробь считают бесконечной периодической дробью с нулём в периоде, например:

Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел - также рациональное число.

Множество действительных чисел

На числовой прямой, которую мы рассмотрели в связи с множеством целых чисел, могут быть точки, не имеющие координат в виде рационального числа. Так, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, число не является рациональным числом. Так же не существует рациональных чисел, квадраты которых равны 5, 7, 9. Следовательно, иррациональными являются числа , , . Иррациональным является и число .

Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде периодической дроби. Их представляют в виде непериодических дробей.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел представляет собой множество действительных чисел R .